[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)

代数的整数論 009 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/

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363: Kummer ◆g2BU0D6YN2 [] 2008/02/04(月) 21:59:41 命題 X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。 H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。 F(X, Y) における単純収束の位相(過去スレ007の154)による H の閉包 H~ は C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)による H の閉包と一致する。 証明 >>326 より H~ は同程度連続である。 よって H~ ⊂ C(X, Y) である。 C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相による H の閉包を H' とする。 コンパクト収束の位相は単純収束の位相より細かいから H~ は コンパクト収束の位相でも閉である。 よって H' ⊂ H~ である。 >>351 より H~ の上でコンパクト収束の一様構造と単純収束の一様構造は 一致する。 よって H' は H~ において単純収束の位相で閉である。 よって H' = H~ である。 証明終 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/363

494: Kummer ◆g2BU0D6YN2 [] 2008/02/11(月) 05:45:47 定理(Ascoli) X を位相空間、Y を分離一様空間とし、 C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。 H を C(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。 各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト (>>364)とする。 このとき H はコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で C(X, Y) において相対コンパクトである。 証明 H(x) の Y における閉包 H(x)~ は >>365 よりコンパクトである。 Tychonoffの定理(>>432)より K = Π{ H(x)~ | x ∈ X } はコンパクト である(Y は分離的だから K はハウスドルフである)。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とすると、K ⊂ F(X, Y) とみなせる。 F(X, Y) に単純収束の位相(過去スレ007の161)を入れたとき、 T の位相はその部分空間としての位相に一致する。 H ⊂ K であるから H は単純収束の位相で F(X, Y) において 相対コンパクトである。 Y は分離的だから F(X, Y) は単純収束の位相でハウスドルフである。 よって、>>365 より H の閉包 H~ はコンパクトである。 >>363 より H~ は C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相による H の閉包と一致する。 よって H はコンパクト収束の位相で C(X, Y) において相対コンパクト である。 証明終 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/494

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