[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)
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519(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 10:05:27 AAS
定理(Heine-Borel-Lesbesgue)
X を可算な基本近縁系を持つ一様空間(過去スレ006の194)とする。
X が準コンパクトであるためには X の任意の点列が接触点(>>515)を
持つことが必要十分である。
証明
>>398より条件は必要である。
条件が十分なことを証明する。
X の任意の点列が接触点を持つとする。
特に、X の任意の Cauchy 列が接触点を持つ。
Cauchy 列の接触点は極限点である(過去スレ006の248)。
よって X は完備である(過去スレ006の325)。
>>517 より X の任意の点列 (a_n), n ≧ 1 は収束する部分点列を持つ。
>>518 より X は全有界である。
以上から X は完備かつ全有界である。
過去スレ006の316より X は準コンパクトである。
証明終
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