[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)

代数的整数論 009 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/

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444: Kummer ◆g2BU0D6YN2 [] 2008/02/09(土) 15:16:24 命題 X を一様空間(過去スレ006の194)とする。 分離一様空間 Y と一様連続な全射 ψ : X → Y で次の性質を満たすものが 存在する。 Z を分離一様空間として f : X → Z を一様連続写像とすると、 一様連続写像 g : Y → Z で f = gψ となるものが一意に存在する。 証明 X × X の部分集合 R を R = { (x, y) ∈ X × X | (x, y) は X の任意の近縁に属す } で定義する。 >>438 より R は同値関係である。 Y を X の R による商集合 X/R とする。 ψ : X → Y を標準射とする。 >>439 より V が X の近縁全体を動くとき (ψ×ψ)(V) の全体は Y の一様構造である。 (x, y) ∈ R とする。 Z の任意の近縁 V に対して Y の近縁 W があり (x, y) ∈ W のとき (f(x), f(y)) ∈ V である。 (x, y) ∈ W だから (f(x), f(y)) ∈ V である。 V は任意の近縁で Z は分離だから過去スレ006の214より f(x) = f(y) である。 よって Y の元 ψ(x) にたいして f(x) は一意にきまる。 g(ψ(x)) = f(x) により写像 g : Y → Z を定義する。 f = gψ は一様連続であり X の一様構造は Y の一様構造の ψ による 逆像であるから g は一様連続である。 g の一意性は ψ が全射であるから明らかである。 証明終 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/444

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