[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)
上下前次1-新
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
444(7): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/09(土) 15:16:24 AAS
命題
X を一様空間(過去スレ006の194)とする。
分離一様空間 Y と一様連続な全射 ψ : X → Y で次の性質を満たすものが
存在する。
Z を分離一様空間として f : X → Z を一様連続写像とすると、
一様連続写像 g : Y → Z で f = gψ となるものが一意に存在する。
証明
X × X の部分集合 R を
R = { (x, y) ∈ X × X | (x, y) は X の任意の近縁に属す }
で定義する。
>>438 より R は同値関係である。
Y を X の R による商集合 X/R とする。
ψ : X → Y を標準射とする。
>>439 より V が X の近縁全体を動くとき (ψ×ψ)(V) の全体は
Y の一様構造である。
(x, y) ∈ R とする。
Z の任意の近縁 V に対して Y の近縁 W があり (x, y) ∈ W のとき
(f(x), f(y)) ∈ V である。
(x, y) ∈ W だから (f(x), f(y)) ∈ V である。
V は任意の近縁で Z は分離だから過去スレ006の214より
f(x) = f(y) である。
よって Y の元 ψ(x) にたいして f(x) は一意にきまる。
g(ψ(x)) = f(x) により写像 g : Y → Z を定義する。
f = gψ は一様連続であり X の一様構造は Y の一様構造の ψ による
逆像であるから g は一様連続である。
g の一意性は ψ が全射であるから明らかである。
証明終
445(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/09(土) 15:36:24 AAS
命題
X を一様空間(過去スレ006の194)とする。
>>444 より、分離一様空間 Y と一様連続な写像 ψ : X → Y で
次の性質を満たすものが存在する。
Z を分離一様空間として f : X → Z を一様連続写像とすると、
一様連続写像 g : Y → Z で f = gψ となるものが一意に存在する。
Y_0 を分離一様空間で一様連続な写像 ψ_0 : X → Y_0 が同様な性質を
持つとする。
一様空間の同型 φ : Y → Y_0 で ψ_0 = φψ となるものがある。
証明
一様連続写像 φ : Y → Y_0 で ψ_0 = φψ となるものが一意に存在する。
同様に、一様連続写像 h : Y_0 → Y で ψ = hψ_0 となるものが
一意に存在する。
ψ = hψ_0 と ψ_0 = φψ より ψ = hφψ である。
hφ の一意性から hφ = 1 である。
同様に ψ_0 = φhψ_0 と φh の一意性から φh = 1 である。
即ち φ は同型である。
証明終
446(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/09(土) 15:53:25 AAS
定義
X を一様空間とする。
>>444 で構成した分離一様空間 Y を一様空間 X に伴う分離一様空間と
言う(過去スレ006の294を参照)。
ψ : X → Y をその標準射と言う。
447(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/09(土) 16:16:28 AAS
命題
X を一様空間(過去スレ006の194)とする。
Y を分離一様空間とし、ψ : X → Y を一様連続な全射とする。
さらに X の一様構造は Y の一様構造の ψ による逆像とする。
Y_0 を X に伴う分離一様空間とし、ψ_0 : X → Y_0 を標準射とする。
このとき一様空間の同型 φ : Y → Y_0 で ψ_0 = φψ となるものが
存在する。
証明
>>445 より、次を証明すればよい。
Z を分離一様空間として f : X → Z を一様連続写像とすると、
一様連続写像 g : Y → Z で f = gψ となるものが一意に存在する。
ψ(x) = ψ(y) であることは (x, y) が X の任意の近縁に属すことと
同値であるから、上は >>444 の証明とまったく同じに出来る。
証明終
448: 2008/02/09(土) 17:06:34 AAS
新井仁之（東大数理教授：実解析）
1997年 日本数学会春季賞「複素解析と調和解析の研究」
中沢則之（退職）
アカハラを受けやむなく退職
会田茂樹（情報）（大阪大学基礎工学研究科教授：確率解析）
2007年 日本数学会解析学賞「無限次元空間上の確率解析」
有沢真理子（情報、退職）（フランス：数理ファイナンス）
1996年 パリ9大学にてフィールズ賞受賞者 Lionsの下で学位を取得。
2007年3月 アカハラを受けやむなく退職。その後、再びフランスへ渡り活躍中。
内山明人（情報、自殺）（実解析）
猪狩惺とならび東北の実解析の第一人者であったが、1997年ノイローゼにより自殺。
梁淞（情報）（東京工業大学准教授：確率論）
2003年 建部賢弘賞受賞「大偏差原理の精密評価」
449: 2008/02/09(土) 17:10:04 AAS
義母は右手でチ＊ポの根元を握り口を前後に動かした
義母「う うっ うぐっっ うふん・・・」
俺「くわえるだけじゃダメだよ 舌も使って！」
そう言うとチ＊ポの先を舐めだした 言う事は聞くみたいだ
サオからタマまで舐めさせ 奥までくわえさせる
俺「お義母さん 上手だね そうとうフェラしてたね？」
恥かしいのか返事もしないでフェラし続けた
このまま口内発射して飲ますのもいいが・・・
チ＊ポを口から抜いて義母を立たして歩かした
義母「ど どこに行くの？」 不安そうに言った
俺「部屋が汚れたらまずいでしょ 風呂に行こうよ
口じゃだめだから 入れさせてもらうよ」
義母「だ だめよ それだけは ゆるして・・」
風呂の前で立ち止まり戻ろうとこちらに振り返った
そのからだを抱きしめまたキスをした
義母「むむむ うう うーー うん んんん」
450: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/09(土) 17:33:29 AAS
>>444
>f = gψ は一様連続であり X の一様構造は Y の一様構造の ψ による
>逆像であるから g は一様連続である。
X の一様構造が Y の一様構造の ψ による逆像であることは自明では
なかった。
よってこの証明を述べる。
451: 2008/02/09(土) 17:55:16 AAS
有沢真理子（情報、退職）（フランス：数理ファイナンス）
1996年 パリ9大学にてフィールズ賞受賞者 Lionsの下で学位を取得。
2007年3月 アカハラを受けやむなく退職。その後、再びフランスへ渡り活躍中。
内山明人（情報、自殺）（実解析）
猪狩惺とならび東北の実解析の第一人者であったが、1997年ノイローゼにより自殺。
梁淞（情報）（東京工業大学准教授：確率論）
2003年 建部賢弘賞受賞「大偏差原理の精密評価」
452: 2008/02/09(土) 17:55:51 AAS
sin(X) + cos(X) = (√2)sin(X +π/4) だから
(与式) = ∫(0→π) {(1/2)log(2) + log|sin(X +π/4)|} dX
= (π/2)log(2) + ∫(0→π) log|sin(X +π/4)| dX
= (π/2)log(2) + ∫(0→π) log(sin(X)) dX {← |sin(X)| は周期π なので、ずらしても同じ}
ここで >>97 の公式を代入しる.
453: 2008/02/09(土) 17:58:12 AAS
f = gψ は一様連続であり X の一様構造は Y の一様構造の ψ による
454: 2008/02/09(土) 17:58:55 AAS
俺は高設定つかんだら打ち切るのが正しいと思ってるけど
勝ってる時は常に引き際を考えて打ってるよ。
エヴァとかドリスタの６っぽい台なら１０時１５分ぐらいまで打つけど
それ以外ならプラスの内にできるだけやめるようにしてる。
理由は勝負事ってのは負けだすと思考がおかしくなりやすいからで、
スロットならマイナスが続くと立ち回りがおかしくなりやすい。
逆にプラスが続くと心に余裕ができるから立ち回りが安定する気がする。
455: 2008/02/09(土) 18:00:11 AAS
基本プロは設定６なら閉店まで、一般人は満足したらでいいだろ
あと割101%は勝率100%だ
負け組は一日単位で『勝った』だ『負けた』だ言ってるから勝率100%だと思わないだけ、
つまり一日単位でしか考えられないバカ
確かに一日単位なら100%じゃないがギャンブルなんて辞めるまでギャンブルしてる最中なのだから
無限回数の試行をしてると言う事になる
ならば理論上規定回数(統計みたいに1/?の確率なら何回転ぐらいすれば大体分る)の試行で
割数101%は勝率が100%じゃない訳がない
まぁあくまで理論上はなｗ
456: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/10(日) 06:27:06 AAS
命題
>>444 において X の一様構造は Y の一様構造の ψ による逆像である。
証明
ψ は一様連続だから X の一様構造は Y の一様構造の ψ による逆像より
細かい。
従って、X の一様構造が Y の一様構造の ψ による逆像より荒いことを
示せばよい。
V を X の任意の近縁とする。
W^3 ⊂ V となる X の対称近縁がある。
W~ = (ψ×ψ)(W) とおく。
(ψ×ψ)^(-1)(W~) ⊂ V を示せばよい。
(x, y) ∈ (ψ×ψ)^(-1)(W~) とする。
(ψ(x), ψ(y)) ∈ (ψ×ψ)(W) であるから
(ψ(x), ψ(y)) = (ψ(a), ψ(b)) となる (a, b) ∈ W がある。
ψ(x) = ψ(a) であるから (x, a) ∈ W である。
同様に ψ(y) = ψ(b) であるから (y, b) ∈ W である。
よって (x, y) ∈ W^3 である。
即ち、(ψ×ψ)^(-1)(W~) ⊂ W^3 ⊂ V である。
証明終
457(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/10(日) 07:38:00 AAS
命題
X を一様空間とし、Y を分離かつ完備な一様空間とする。
f : X → Y を一様連続写像とする。
f(X) は Y において稠密であり、
X の一様構造は f(X) の一様構造の f による逆像であるとする。
このとき Y は X の完備化と同一視され f は完備化の標準射と
同一視される。
証明
>>447 より f(X) は X に伴う分離一様空間(>>446)と同一視され
f : X → f(X) はその標準射と同一視される。
Z を分離かつ完備な一様空間とし、g : X → Z を一様連続写像とする。
>>444 より一様連続写像 h: f(X) → Z で g = hf となるものが一意に
存在する。
Z は完備で f(X) は Y で稠密だから、一様連続写像の延長定理
(過去スレ006の272)より h は一様連続写像 h^ : Y → Z に
一意に延長される。
従って f : X → Y は一様空間の完備化の定理(過去スレ006の287)
の性質 (P) を持つ。
従って f : X → Y は X の完備化と同一視される。
証明終
458: 2008/02/10(日) 07:53:22 AAS
ある問題の解説に理解できないところあります。
（省略）
f(x)=x^3+(1/2)x+(1/3√6)
これをy=xの交点は、
x^3+(1/2)x+(1/3√6)-x=0
の解であり、pが重解なので、もう1方の解をqとすると、解と係数の関係から、
p+p+q=0
p+p+q=0とどうしてなるのかわかりません。
pを重解をもつから、(x-p)^2(x-q)=0の形になることぐらいしか思いつきません。
459: 2008/02/10(日) 07:55:38 AAS
例えば、リングにかけろ10台の内１台だけ設定⑥（機械割120%）がある。
そんなイベントに行き続ける場合、⑥に当たった時の平均出玉を4000枚（等価で8万円）とすると、
1/10で⑥に当たる事になるので、外れた9回は平均8000円負けてもトータルでプラスの計算。⑥以外全部①としても、
リングにかけろの設定①を4000回回しても機械割97％で8000円まで負けない。
4000回転以内で設定⑥ではないと判断すればトータルで勝ちです。
それを毎回1000回転以内で判断すれば、それは、大勝ちです。
設定⑥じゃないと判断するのは、結構簡単です。
設定①は極力打ちたくないので、朝はなるべく打たないで１台とっておいて他のリングにかけろの挙動を見学。
他の台で設定⑥らしき挙動の台があれば帰る。
また朝ゆっくり打っている内に当たりの台（設定⑥）なら、ゆっくり打っている内にボーナスを引いてしまいますので設定⑥は分かります。
はたしてこれは、ギャンブルでしょうか？
460: 2008/02/10(日) 08:03:06 AAS
結局さ、スロットといってもギャンブルなんだから、貧乏人が金持ちに勝てるわけないんだよな。
財布に５万しか用意できなくて目先の期待値しか追えない奴が
財布に２０万入れて長期的に期待値を追う事ができる奴に
敵うはずないんだよ。
種銭に余裕があれば高設定で大ハマリ食らっても打ち切れるから、最後には結果を残せる。
種銭に余裕がないと毎勝負綱渡りみたいな精神状態で打つはめになる。そういう奴は必ず途中で折れるから、結果が残せない。
高設定を終日打ちきれるのは金持ちの特権だよ。殆どの打ち手はその土俵にすら上がれないまま店から消えていくんだからさ。
461: 2008/02/10(日) 08:04:09 AAS
リー群・リー代数の一番わかりやすい本教えてください。
今まで読んだのは
群と表現 吉川圭二
リー代数と素粒子論 竹内外史
初めて学ぶ人のための群論入門 横田一浪
なんですが、どれも「なにをしているのか」が僕の頭ではイマイチよくわかりませんでした。
462: 2008/02/10(日) 08:16:08 AAS
命題
X を一様空間とし、Y を分離かつ完備な一様空間とする。
f : X → Y を一様連続写像とする。
f(X) は Y において稠密であり、
X の一様構造は f(X) の一様構造の f による逆像であるとする。
このとき Y は X の完備化と同一視され f は完備化の標準射と
同一視される。
証明
>>447 より f(X) は X に伴う分離一様空間(>>446)と同一視され
f : X → f(X) はその標準射と同一視される。
Z を分離かつ完備な一様空間とし、g : X → Z を一様連続写像とする。
>>444 より一様連続写像 h: f(X) → Z で g = hf となるものが一意に
存在する。
Z は完備で f(X) は Y で稠密だから、一様連続写像の延長定理
463: 2008/02/10(日) 08:16:52 AAS
頂点Aの円錐の母線に平行な面πで切断した断面が放物線になることの証明です。
断面の点Fと円錐Aの表面の点Q、Q'に接する内接球Oがあります。
点Q,Q'を通る底面に平行な面π'があり、
断面の外周上にある点Pからπ'の下ろした垂線の足が点S、
Sからπとπ'の交線Lに下ろした垂線の足がRです。
点Fが焦点、直線Lが準線で、断面の外周が放物線を描いています。
Pと準線との距離PRと、焦点とPの距離PFが等しいことを証明する感じだと思います。
464(1): 2008/02/10(日) 08:17:35 AAS
この問題解けないんで、どなたか教えてください。
f(a)=∫log(1-2acosx+a^2)dx （0≦x≦π)
(1)2f(a)=f(a)+f(-a)=f(a^2)を示せ
(2)｜a｜＜1のときf(a)を求めよ
(3)｜a｜＞1のときf(a)を求めよ
465: 2008/02/10(日) 08:18:21 AAS
性病で腐ったマソコの臭いもたまらんぞ。
あまりの臭さに卒倒しそうになる。
喪前らそんな腐れマソコ舐め舐めできる？
466(1): 2008/02/10(日) 08:19:43 AAS
>>439にある、近縁ってどういう定義なんですか？
詳しくお願いします。>クマー
467: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/10(日) 08:28:10 AAS
>>466
過去スレ006の194に書いてあります。
468(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/10(日) 09:43:58 AAS
命題
X = ΠX_i を一様空間(過去スレ006の194)の族 (X_i), i ∈ I の積とする。
X_i の分離完備化(過去スレ006の288)を (X_i)^ とする。
X の分離完備化 X^ は Π(X_i)^ に標準的に同型である。
証明
p_i : X → X_i を射影とする。
ψ_i : X_i → (X_i)^ を標準射とする。
写像 ψ : X → Π(X_i)^ を ψ((x_i)) = (ψ_i(x_i)) により定義する。
X_i の一様構造は (X_i)^ の一様構造の ψ_i による逆像である
(過去スレ006の278)。
よって X の一様構造は Π(X_i)^ の一様構造の ψ による逆像である。
これは X の一様構造が ψ(X) の一様構造の ψ による逆像であることを
意味する。
ψ(X) = Πψ_i(X_i) だから ψ(X)~ = Πψ_i(X_i)~ である。
ここで ψ(X)~ は ψ(X) の Π(X_i)^ における閉包を表し、
ψ_i(X_i)~ は ψ_i(X_i) の (X_i)^ における閉包を表す。
(X_i)^ = ψ_i(X_i)~ であるから ψ(X)~ = Π(X_i)^ である。
よって、>>457 より Π(X_i)^ は X の分離完備化 X^に標準的に同型である。
証明終
469(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/10(日) 10:05:18 AAS
命題
全有界(過去スレ006の302)な一様空間の族 (X_i), i ∈ I の積
X = ΠX_i は全有界である。
証明
X_i の分離完備化(過去スレ006の288)を (X_i)^ とする。
>>468 より X の分離完備化 X^ は Π(X_i)^ に標準的に同型である。
過去スレ006の312より各 (X_i)^ はコンパクトである。
Tychonoffの定理(>>432)より X^ はコンパクトである。
よって、過去スレ006の314より X は全有界である。
証明終
470(1): 2008/02/10(日) 10:47:58 AAS
クマって結婚している？
471: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/10(日) 12:41:19 AAS
>>469 はTychonoffの定理(>>432)を使わないでも証明出来る。
それを次に述べる。
472(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/10(日) 12:43:38 AAS
>>469 の別証
p_i : X → X_i を射影写像とする。
V を X の任意の近縁とする。
X の一様構造の定義から I の有限集合 J と各 j ∈ J に対して
X_i の近縁 V_j が存在して g_j = (p_j)×(p_j) としたとき
∩{ (g_j)^(-1)(V_j) | j ∈ J } ⊂ V となる。
各 j ∈ J に対して X_j は全有界だから X_j は V_j 程度に
小さい集合(過去スレ006の235)からなる有限被覆 M_(j, k), k = 1, ..., n_j
を持つ。
N_(k_1, ..., k_m) = ∩{ p_j^(-1)(M_(j, k_t)) | j ∈ J, t = 1, ..., m }
とおく。ここで m は J の元の個数である。
N_(k_1, ..., k_m) の全体は X の被覆である。
N_(k_1, ..., k_m) は V 程度に小さいから X は全有界である。
証明終
473(4): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/10(日) 13:01:11 AAS
次の命題はTychonoffの定理を使えば明らかだが、Tychonoffの定理を
使わないでも証明できる。
命題
準コンパクトな一様空間の族 (X_i), i ∈ I の積 X = ΠX_i は
準コンパクトである。
証明
過去スレ006の316より一様空間 X が準コンパクトであるためには
X が全有界かつ完備であることが必要十分である。
よって各 X_i は全有界かつ完備である。
よって、過去スレ006の255より X は完備である。
>>472 より X は全有界である。
よって再び過去スレ006の316より X は準コンパクトである。
証明終
474(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/10(日) 13:19:52 AAS
>>473 がTychonoffの定理を使っていないと言っても、
全有界かつ完備な一様空間は準コンパクトであるという過去スレ006の310の
結果は使っている。この証明には極大フィルターを使っているので
この点、Tychonoffの定理の証明と同じである。
475: 2008/02/10(日) 14:28:57 AAS
プロジェリア菌を飲んで周りより早く成長すれば、
それだけ知恵もついており学年的に未来よりやってきた事となる。
周りが23才ならプロジェリア菌を飲んだあなたは73才である。
それなりの分別や貫禄はつくはずである。
少なくとも青二才ではなくなる。
476: 2008/02/10(日) 15:19:38 AAS
>>470
してない
477(1): 2008/02/10(日) 15:20:39 AAS
クマって何歳くらい？35歳くらい？
478: 2008/02/10(日) 15:42:54 AAS
>>477
２８ぐらい
479: 2008/02/10(日) 15:44:17 AAS
クマって何しているひと？院生？
480(1): 2008/02/10(日) 21:45:04 AAS
>>474
Kummer さん、こんばんは。
確か、チコノフの定理は、選択公理と同値でしたよね。
一方で、極大フィルターの存在定理からは、選択公理は導かれない筈ですから、
そのほかにも、どこかで、essential に、選択公理を使っているかもしれません。
（もちろん、与えられた一様空間族 (X_i)_(i∈I)の積についてのみ、
空でないとは仮定しますが）
481(2): 2008/02/10(日) 23:09:04 AAS
>>480
有難うございます。
私の手元にある現代数学概説IIにTychonoffの定理と選択公理の同値性が
証明されています。
>>432のTychonoffの定理の証明において極大フィルターの存在と
ΠX_i が空でないという主張以外に選択公理がessentialに使われている
ところは>>432に指摘してありますが、X_i がHausdorffでないときです。
他にもあるかどうかは私にはよくわかりません。
因みに、>>473 からTychonoffの定理は出ません。
何故なら準コンパクト空間は必ずしもそれと両立する一様構造が入るとは
限らないからです。
しかしコンパクト空間、つまりHausdorffで準コンパクトなら
一様構造が入ります(過去スレ006の322)。
482(1): 2008/02/10(日) 23:10:52 AAS
クマ
七誌になっているぞｗ
483: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/10(日) 23:19:25 AAS
>>482
有難う。
後の参照のために>>481は私ですとここに書いておく。
484(2): 2008/02/10(日) 23:43:34 AAS
>>481
レス、有難うございます。
なるほど。>>473 においては、各空間 X_i に、一様構造が入る、
という仮定が利いているわけですね。
それであれば、極大フィルターの存在定理のみで、充分かもしれません。
485: 零割蕎麦 ◆C2UdlLHDRI 2008/02/10(日) 23:46:28 AAS
削除依頼二回目までの当事者、中卒中年（←嘘）とは私｡
何故削除依頼出来ないかと言うと…インフルエンザ中｡
有志、スレ整理お願いします(T_T)
486(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/11(月) 01:43:20 AAS
>>484
ご推察のとおり、>>473 の証明にも極大フィルターの存在と
ΠX_i が空でないという主張以外に選択公理は使われていました。
X_i が分離でないときに完備空間の積が完備というところです。
この点でもTychonoffの定理の証明と類似ですね。
完備空間の積が完備という命題の過去スレ006の255の証明を再現します。
p_i : X → X_i を射影とする。
Φ を X の Cauchy フィルターとする。
各 i ∈ I で p_i(Φ) は X_i の Cauchy フィルターの
基底である。
X_i は完備だから p_i(Φ) は X_i の点 x_i に収束する。
x = (x_i) とすれば >>431 より Φ は x に収束する。
従って X は完備である。
X_i が分離一様空間でないときは p_i(Ψ) の極限点は一意に決まらない
から、このような x = (x_i) の存在することは選択公理による。
487(1): 2008/02/11(月) 02:14:51 AAS
代数的整数論というタイトルと
クマがやっている内容とはそぐわない
次から、一般位相というタイトルにしてくれ
488(2): 2008/02/11(月) 02:16:10 AAS
それから過去スレを引用しているが
これは普通は読めない
その対策も考えてくれ
489: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/11(月) 02:42:06 AAS
>>487
代数的整数論では位相群とか位相体、位相環の理論が重要なんで
その予備知識として一般位相をやるのは理に適ってる。
因みに、代数的整数論を専門としていた数学者で位相数学のほうに移って
いった人もいる。淡中とか岩沢とか。岩沢は数論に戻ったが。
代数体の研究には代数体の各素点における完備化を考えることが
重要になる。有限素点での完備化が p-進体とその有限次拡大であり、
無限素点での完備化が実数体と複素数体である。
従って、p-進解析とともに実解析とか複素解析は代数体の研究にとっても
重要になってくる。
離散的な対象の研究に連続的な対象(p-進体とか実数体)が役立つというのは
興味深い。
490: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/11(月) 02:59:07 AAS
>>488
Jane Doe Style という２ｃｈブラウザ（これはタダ）を使うと
過去スレの４、５、６、７、８は見れるよ。
２ちゃんねるViewerを使うと全部読める。
ただし、これは有料。１年でUS$33
タダで全部見れる方法はあるかもしれないが私は知らない。
491: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/11(月) 03:18:15 AAS
>>488
Jane Doe Style なり２ちゃんねるViewerで過去スレが見れるようになったら
それをプレーンテキストとして保存しておいたほうがいい。
何故なら、将来見れなくなるかもしれないから。
私は、２ちゃんねるViewerを使ってないが当然ながら過去スレの１から
保存してあるのでいつでも見れる。
しかし、この保存したファイルもディスクが壊れると見れないが。
その場合に備えてバックアップをしておいたほうがいい。
492: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/11(月) 05:04:46 AAS
>>366 からの回り道から本題に戻って Ascoli の定理を証明する。
493: 484 2008/02/11(月) 05:38:49 AAS
>>486
ご丁寧に、有難うございました。
494(7): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/11(月) 05:45:47 AAS
定理(Ascoli)
X を位相空間、Y を分離一様空間とし、
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を C(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
このとき H はコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で
C(X, Y) において相対コンパクトである。
証明
H(x) の Y における閉包 H(x)~ は >>365 よりコンパクトである。
Tychonoffの定理(>>432)より K = Π{ H(x)~ | x ∈ X } はコンパクト
である(Y は分離的だから K はハウスドルフである)。
F(X, Y) を X から Y への写像全体とすると、K ⊂ F(X, Y) とみなせる。
F(X, Y) に単純収束の位相(過去スレ007の161)を入れたとき、
T の位相はその部分空間としての位相に一致する。
H ⊂ K であるから H は単純収束の位相で F(X, Y) において
相対コンパクトである。
Y は分離的だから F(X, Y) は単純収束の位相でハウスドルフである。
よって、>>365 より H の閉包 H~ はコンパクトである。
>>363 より H~ は C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相による
H の閉包と一致する。
よって H はコンパクト収束の位相で C(X, Y) において相対コンパクト
である。
証明終
495: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/11(月) 12:29:12 AAS
X が局所コンパクト空間のときは >>494 の逆が成り立つ。
496(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/11(月) 12:32:29 AAS
命題(>>494の制限つきの逆)
X を局所コンパクト空間、Y を分離一様空間とし、
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を C(X, Y) の部分集合でコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で
相対コンパクトであるとする。
このとき、H は同程度連続(>>315)であり、
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } は
Y で相対コンパクト(>>364)である。
証明
H~ を C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相での閉包とする。
x ∈ X を固定したとき、f ∈ C(X, Y) に f(x) を対応させる写像 Φ_x
を考える。
一点からなる集合 {x} はコンパクトであるから、
W({x}, V) = {(f, g) ∈ C(X,Y)×C(X,Y) | (f(x),g(x)) ∈ V }
は C(X, Y) の近縁である。
よって、Φ_x : C(X, Y) → Y は一様連続である。
C(X, Y) はハウスドルフであるから >>365 より H~ はコンパクトである。
よって、H~(x) = Φ_x(H~) もコンパクトである。
H(x) ⊂ H~(x) であるから H(x) は相対コンパクトである。
(続く)
497: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/11(月) 12:34:40 AAS
>>496 の続き。
次に H が同程度連続であることを証明する。
X は局所コンパクトだから、任意の x ∈ X はコンパクト近傍 K を持つ。
H~ はコンパクトであるから過去スレ006の313より全有界である。
従って H も全有界である。
V を Y の任意の近縁とする。
W を Y の対称近縁で W^3 ⊂ V となるものとする。
H は W(K, W) 程度に小さい集合(過去スレ006の302)からなる有限被覆を持つ。
よって、H の元の有限列 f_1, ..., f_n があり、
任意の f ∈ H に対して、ある i があり、任意の y ∈ K に対して
(f(y), f_i(y)) ∈ W となる。
各 f_i は x で連続であり K は x の近傍だから x ∈ U_i ⊂ K となる
X における x の近傍 U_i があり、任意の y ∈ U_i に対して
(f_i(y), f_i(x)) ∈ W となる。
U = ∩U_i とおく。
U は x の近傍であり、任意の f ∈ H に対して i があり、
任意の y ∈ U に対して
(f(y), f_i(y)) ∈ W, (f_i(y), f_i(x)) ∈ W, (f_i(x), f(x)) ∈ W
となるから (f(y), f(x)) ∈ W^3 ⊂ V
よって H は x で同程度連続である。
証明終
498: 2008/02/11(月) 19:20:46 AAS
>>464
井上さんに聞こう。
499: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/11(月) 20:03:23 AAS
Ascoli の定理(>>494)を解析学に応用するには C(X, Y) に距離が付くことが
望ましい。
このための条件を述べる。
500(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/11(月) 20:58:43 AAS
命題
X をσ-コンパクト(過去スレ008の100)な局所コンパクト空間とする。
X の開集合の列 (U_n), n = 1, 2, ... で各 U_n の閉包 (U_n)~ が
コンパクトで (U_n)~ ⊂ U_(n+1), n = 1, 2, ...
X = ∪{U_n | n = 1, 2, ... } となるものが存在する。
証明
X = ∪K_n, n = 1, 2, . . . となるコンパクト集合 K_n がある。
過去スレ007の704より
K_1 ⊂ U_1 となる開集合 U_1 で (U_1)~ がコンパクトとなるものが
存在する。
(U_1)~ ∪ K_2 はコンパクトだから過去スレ007の704より
(U_1)~ ∪ K_2 ⊂ U_2 となる開集合 U_2 で (U_2)~ がコンパクトとなる
ものが存在する。
以下同様にして
(U_(n-1))~ ∪ K_n ⊂ U_n となる開集合 U_n で (U_n)~ がコンパクトと
なるものが存在する。
(U_n), n = 1, 2, ... が求めるものである。
証明終
501: 2008/02/12(火) 17:43:27 AAS
今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 今日は寒いので、うんちがたくさんでるお
今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 今日は寒いので、うんちがたくさんでるお
今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 今日は寒いので、うんちがたくさんでるお
今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 今日は寒いので、うんちがたくさんでるお
502: 2008/02/12(火) 17:44:10 AAS
高校生スレに
22 ：１：2008/02/09(土) 16:39:54
言っとくけど俺をあまりナメないほうがいいよ
vipでコテハンやってるしこのスレ潰すくらいの影響力は持ってるから
くだらないことで刺激して後悔しないようにね
などど暴走族の頭きどりの痛い輩がいる
実はコテハンやってるすら定かではない
一人自作自演で荒らしているのは、見てて全く持って愚かとしか言いようがない
503: 2008/02/12(火) 17:45:04 AAS
ついに義母は結婚して出て行った 相手は５０過ぎの
不動産の社長で輸入雑貨の店も経営していて金は持っているみたいだ
義母がスナックで働いている時に知り合ったようだが
女性関係はあまりいい噂を聞かなかったのだが・・・
金の力か強引に口説かれたのかはわからない
だが やはり噂は本当だったみたいで 一年も過ぎると家に
帰って来る日が少なくなり外泊ばかりしていると
真美に話している事を聞き 仕事中の昼間に義母の所に行った
ピンポ～ン 「こんにちは」 インターホンを鳴らすと
義母「はーい どちらさま？」 「あつしです」
義母「えっ ちょっと待ってね」
と言って鍵を開け扉を開けた
504(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/12(火) 21:35:24 AAS
命題
X をσ-コンパクト(過去スレ008の100)な局所コンパクト空間とし、
Y を可算な基本近縁系を持つ一様空間とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
C(X, Y) にコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)を入れる。
このとき、C(X, Y) は可算な基本近縁系を持つ。
証明
>>500 より、X の開集合の列 (U_n), n = 1, 2, . . . で
各 U_n の閉包 (U_n)~ がコンパクトで (U_n)~ ⊂ U_(n+1), n = 1, 2, ...
となり、(U_n) が X の被覆になるものが存在する。
K_n = (U_n)~ とおく。
V_n, n = 1, 2, . . . を Y の基本近縁系とする。
W(K_n, V_m) =
{(f,g) ∈ C(X,Y)×C(X,Y); 任意の x ∈ K_n に対して (f(x),g(y)) ∈ V_m}
とおく。
(U_n) は X の被覆であるから、X の任意のコンパクト集合 K に対して
K ⊂ U_n となる n がある。
このとき、K ⊂ K_n であるから
任意の m ≧ 1 に対して W(K_n, V_m) ⊂ W(K, V_m) である。
よって、n と m を動かしたときの W(K_n, V_m) の有限個の共通部分が
C(X, Y) の基本近縁系である。
これらは可算である。
証明終
505: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/12(火) 22:36:58 AAS
命題
X をσ-コンパクト(過去スレ008の100)な局所コンパクト空間とし、
Y を距離付け可能な(過去スレ007の98)一様空間とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
C(X, Y) にコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)を入れる。
このとき、C(X, Y) は距離付け可能である。
証明
過去スレ007の99より一様空間 X が距離付け可能であるためには、
X が分離的であり、可算基本近縁系をもつことが必要十分である。
よって Y は可算基本近縁系を持つ
よって >>504より C(X, Y) は可算な基本近縁系を持つ。
Y は分離的だから過去スレ007の159 より C(X, Y) は分離的である。
よって再び過去スレ007の99より C(X, Y) は距離付け可能である。
証明終
506: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/14(木) 21:31:04 AAS
>>504
>よって、n と m を動かしたときの W(K_n, V_m) の有限個の共通部分が
>C(X, Y) の基本近縁系である。
V_1 ⊃ V_2 ⊃ . . . ⊃ V_n ⊃ . . . と仮定してよい。
このとき、上記の主張はもっと改良出来る。
W(K_n_1, V_m_1) ∩ ... ∩ W(K_n_r, V_m_r)
⊃ W(K_n_1 ∪ ... ∪ K_n_r, V_m_1 ∩ ... ∩ V_m_r)
= W(K_n_i, V_m_j)
ここで n_i = max{n_1, n_2, . . ., n_r}
ここで m_j = max{m_1, m_2, . . ., m_r}
よって n と m を動かしたときの W(K_n, V_m) 全体が C(X, Y) の
基本近縁系である。
507: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 04:46:30 AAS
>>326 と >>334 より、同程度連続な関数列が単純収束すれば、
それはコンパクト収束するという重要な命題が出る。
508(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 04:47:54 AAS
命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)であるとする。
Φ を H のフィルター(過去スレ006の75)とする。
Φ が f ∈ F(X, Y) に単純収束の位相(過去スレ007の154)で収束
するなら f ∈ C(X, Y) であり、Φ は f にコンパクト収束の位相
(過去スレ007の168)で収束する。
証明
>>326 より F(X, Y) における単純収束の位相による H の閉包 H~ は
同程度連続である。
よって、H~ ⊂ C(X, Y) である。
よって、f ∈ H~ だから f ∈ C(X, Y) である。
>>334 より H~ において単純収束の位相とコンパクト収束の位相は
一致する。
従って、Φ は f にコンパクト収束の位相で収束する。
証明終
509: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 05:37:56 AAS
>>508 は Y に条件、例えば完備性を仮定するともっと強められる。
510(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 05:38:44 AAS
命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)であるとする。
X の任意の点 x に対して H(x) は Y の完備な部分集合に含まれる
とする（特に Y が完備ならこの条件は満たされる）。
Φ を H のフィルター(過去スレ006の75)とする。
M ⊂ F(X, Y) と x ∈ X に対して M(x) = { f(x) | f ∈ M } と書く。
Φ(x) = { M(x) | M ∈ Φ } とおく。
Φ(x) は Y のフィルター基底(過去スレ006の77)である。
D を X の稠密な部分集合とする。
D の任意の点 x において Φ(x) が f_0(x) に収束するとする。
ここで f_0 は D から Y への写像である。
このとき f_0 は f ∈ C(X, Y) に拡張され、
Φ は f にコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で収束する。
証明
仮定より Φ は D における単純収束の一様構造(過去スレ007の161)で
Cauchy フィルターである。
>>334 より Φ は単純収束の一様構造(過去スレ007の154)で
Cauchy フィルターである。
即ち X の任意の点 x に対して Φ(x) は Y のCauchy フィルターである。
仮定より X の任意の点 x に対して H(x) は Y の完備な部分集合に
含まれるから Φ(x) は Y の点に収束する。
よって、f_0 の拡張 f ∈ F(X, Y) で Φ(x) は f(x) に収束
するようなものがある（Y が分離でないときは選択公理による）。
即ち、Φ は単純収束の位相で、f に収束する。
>>508 より f ∈ C(X, Y) で Φ は f にコンパクト収束の位相
(過去スレ007の168)で収束する。
証明終
511: 2008/02/23(土) 07:11:35 AAS
257 名前：１３２人目の素数さん ：2008/02/23(土) 02:45:58
テーマ：量子コンピュータ
～20年後の頭脳～
ゲスト講師：東大院生 下野寿之（しものと しゆき）氏
ゲストプロフィール（当時）
山口県出身。幼 少期より理数系を”学問”してきた秀才。小学生の時には、すでに父の大学の教科書で学び
ラサール高校時代には、数学・物理は常にトップクラスの成績。また、現役高校生日本代表として、
国際数学オリンピックに参加し、銅メダル獲得。その後、京都大学理学部数学科に進学し、３年間で飛び級卒業
（正確には、単位取得満了退学）。
現在、東京大学大学院情報理工学研究科コンピュータ科学専攻博士課程にて、
２０年後
の頭脳・量子コンピュータの理論構築・開発研究に取り組み中。
外部ﾘﾝｸ[html]:www.idea.to
512: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 08:40:08 AAS
訂正
>>508
>>>334 より H~ において単純収束の位相とコンパクト収束の位相は
>一致する。
>>350 より H~ において単純収束の位相とコンパクト収束の位相は
>一致する。
513: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 08:46:55 AAS
Ascoliの定理(>>494)を解析学に応用するには相対コンパクトな関数の
集合を関数列で特徴付けたほうが使いやすい。
これについて述べる。
514: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 08:53:06 AAS
訂正
>>510
>即ち X の任意の点 x に対して Φ(x) は Y のCauchy フィルターである。
即ち X の任意の点 x に対して Φ(x) は Y のCauchy フィルター基底である。
515(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 08:53:36 AAS
定義
X を位相空間とし、(a_n) を X の点列とする。
A_n = { a_m | m ≧ n } とおけば、Φ = {A_n} はフィルター基底
(過去スレ006の77)である。
Φ の接触点(過去スレ006の132)を点列 (a_n) の接触点と言う。
516: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 08:56:58 AAS
命題
X を位相空間とし、(a_n), n ≧ 1 を X の点列とする。
(a_n) の部分点列 (a_n_i), i ≧ 1 の極限点は (a_n) の接触点である。
証明
明らかである。
517(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 09:14:58 AAS
命題
X を位相空間とし、(a_n), n ≧ 1 を X の点列とする。
X の各点が可算な基本近傍系をもつとする。
このとき、(a_n) の接触点(>>515)は (a_n) のある部分点列の
極限点である。
証明
x を (a_n) の接触点とする。
A_n = { a_m | m ≧ n } とおく。
V_1 ⊃ V_2 ⊃ . . . を x の基本近傍系とする。
V_1 ∩ A_1 ≠ φ だから a_n_1 ∈ V_1 ∩ A_1 とする。
k ＞ n_1 のとき V_2 ∩ A_k ≠ φ だから
a_n_2 ∈ V_2 ∩ A_k とする。
n_2 ＞ n_1 である。
以下同様にして点列 (a_n_m) を作る。
m ＞ k のとき n_m ＞ n_k である。
よって (a_n_m) は (a_n) の部分点列である。
a_n_m ∈ V_m であるから (a_n_m) は x に収束する。
証明終
518(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 09:40:52 AAS
命題
X を一様空間(過去スレ006の194)とする。
X の任意の点列 (a_n), n ≧ 1 は収束する部分点列をもつとする。
このとき X は全有界(過去スレ006の302)である。
証明
X が全有界でないとして矛盾を導く。
X のある近縁 V があり、X は V 程度に小さい集合(過去スレ006の235)
からなる有限被覆をもたない。
W^2 ⊂ V となる対称(過去スレ006の202)な近縁 W をとる。
X の点 x に対して W(x) = { y ∈ X | (x, y) ∈ W } とおく。
W(x) は V 程度に小さい。
X の任意の点を a_1 とする。
X ≠ W(a_1) だから a_2 ∈ X - W(a_1) がある。
X ≠ W(a_1) ∪ W(a_2) だから
a_3 ∈ X - (W(a_1) ∪ W(a_2)) がある。
以下同様に点列 (a_n) を作る。
k ＜ n のとき (a_k, a_n) ∈ W とはならない。
(a_n) が収束する部分点列 (a_n_k) を持つとする。
x をその極限点とする。
x の近傍 W(x) には高々１個の a_n しか含まないから
これは矛盾である。
証明終
519(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 10:05:27 AAS
定理(Heine-Borel-Lesbesgue)
X を可算な基本近縁系を持つ一様空間(過去スレ006の194)とする。
X が準コンパクトであるためには X の任意の点列が接触点(>>515)を
持つことが必要十分である。
証明
>>398より条件は必要である。
条件が十分なことを証明する。
X の任意の点列が接触点を持つとする。
特に、X の任意の Cauchy 列が接触点を持つ。
Cauchy 列の接触点は極限点である(過去スレ006の248)。
よって X は完備である(過去スレ006の325)。
>>517 より X の任意の点列 (a_n), n ≧ 1 は収束する部分点列を持つ。
>>518 より X は全有界である。
以上から X は完備かつ全有界である。
過去スレ006の316より X は準コンパクトである。
証明終
520: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 10:56:28 AAS
Ascoliの定理(>>494)において X が稠密な可算部分集合を持ち、
Y が可算な基本近縁系を持つと仮定するとTychonoffの定理(>>432)を
使わない伝統的な証明が得られる。
521(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 11:08:15 AAS
補題
X を位相空間、Y を分離一様空間とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
(f_n), n ≧ 1 を F(X, Y) の要素からなる関数列とする。
H = { f_n | n = 1, 2, . . . } とおく。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
D = {a_1, a_2, . . . } を X の可算部分集合とする。
このとき (f_n) の部分列 (f_n_k), k ≧ 1 で D の各点で収束するものが
存在する。
証明
Y の点列 f_1(a_1), f_2(a_1), . . . は相対コンパクトであるから
>>519 と>>517より収束する部分列 (f_1_n(a_1)), n ≧ 1 を持つ。
f_1_1(a_2), f_1_2(a_2), . . . は相対コンパクトであるから
(f_1_n(a_2)) は収束する部分列 (f_2_n(a_2)), n ≧ 1 を持つ。
以下同様にして収束する部分列 (f_m_n(a_m)), n ≧ 1 を選ぶ。
このとき、対角列 (f_n_n), n ≧ 1 は (f_n) の部分列であり、
D の各点で収束する。
証明終
522(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 11:25:07 AAS
>>521 を訂正する。
補題
X を位相空間、Y を可算な基本近縁系を持つ分離一様空間とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
(f_n), n ≧ 1 を F(X, Y) の要素からなる関数列とする。
H = { f_n | n = 1, 2, . . . } とおく。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
D = {a_1, a_2, . . . } を X の可算部分集合とする。
このとき (f_n) の部分列 (f_n_k), k ≧ 1 で D の各点で収束するものが
存在する。
証明
Y の点列 f_1(a_1), f_2(a_1), . . . は相対コンパクトであるから
>>519 と>>517より収束する部分列 (f_1_n(a_1)), n ≧ 1 を持つ。
f_1_1(a_2), f_1_2(a_2), . . . は相対コンパクトであるから
(f_1_n(a_2)) は収束する部分列 (f_2_n(a_2)), n ≧ 1 を持つ。
以下同様にして収束する部分列 (f_m_n(a_m)), n ≧ 1 を選ぶ。
このとき、対角列 (f_n_n), n ≧ 1 は (f_n) の部分列であり、
D の各点で収束する。
証明終
523(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 11:28:42 AAS
命題(>>494の弱形の別証)
X を稠密な可算部分集合 D を持つ位相空間、Y を可算な基本近縁系を持つ
分離一様空間とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を C(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
(f_n), n ≧ 1 を H の要素からなる関数列とする。
このとき (f_n) はコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で
C(X, Y) の元に収束する部分列を持つ。
証明
>>521 より (f_n) の部分列 (f_n_k), k ≧ 1 で D の各点で収束するものが
存在する。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } は Y で相対コンパクト
であるから Y においてな部分集合に含まれる。
>>510 より (f_n_k), k ≧ 1 はコンパクト収束の位相で
C(X, Y) の元に収束する。
証明終
524: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 11:30:29 AAS
訂正
>>523
>>>521 より (f_n) の部分列 (f_n_k), k ≧ 1 で D の各点で収束するものが
>存在する。
>>522 より (f_n) の部分列 (f_n_k), k ≧ 1 で D の各点で収束するものが
存在する。
525: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 13:22:06 AAS
命題(>>523の言い換え)
X を稠密な可算部分集合 D を持つ位相空間、Y を可算な基本近縁系を持つ
分離一様空間とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を C(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
このとき H はコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で
C(X, Y) において相対コンパクトである。
証明
V_1 ⊃ V_2 ⊃ . . . を Y の基本近縁系とする。
F(X, Y) に D における単純収束の一様構造(過去スレ007の161)を
入れたものは、F を D の有限部分集合として
W(F, V_n) =
{(f, g) ∈ F(X,Y)×F(X,Y) | 任意の x ∈ F に対して (f(x),g(x)) ∈ V_n}
の形の近縁を基本近縁系にもつ。
D は可算だからその有限部分集合全体も可算である。
よって、D における単純収束の一様構造により F(X, Y) は
可算な基本近縁系を持つ。
>>327より F(X, Y) における単純収束の位相(過去スレ007の154)による
H の閉包 H~ は同程度一様連続である。
>>350より H~ の上でコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)と
D での単純収束の一様構造は一致する。
よって、上で述べたことにより H~ におけるコンパクト収束の一様構造
は可算な基本近縁系を持つ。
>>523より (f_n), n ≧ 1 を H~ の要素からなる関数列は、
コンパクト収束の位相で C(X, Y) の元、従って H~ の元に収束する
部分列を持つ。>>519より H~ は準コンパクトである。
Y は分離だから H~ も分離であり、H~ はコンパクトである。
証明終
526: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 15:50:15 AAS
位相線形空間の話に戻る。
Banach-Steinhaus の定理（後述）を証明する前に弱位相と極集合について述べる。
527(15): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 16:01:16 AAS
定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E×F 上の双線形形式 B(x, y) が与えられたとき
E と F は（B に関して）対をなすという。
528(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 16:09:14 AAS
定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
E の元 x に F の双対空間 F^* の元 y → B(x, y) を対応させる
写像が単射のとき、対 (E, F) は E に関して分離的であると言う。
F の元 y に E の双対空間 E^* の元 x → B(x, y) を対応させる
写像が単射のとき、対 (E, F) は F に関して分離的であると言う。
対 (E, F) が E と F それぞれに関して分離的なとき、
対 (E, F) は分離的であるという。
529(9): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 16:17:03 AAS
定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
y が F の元全体を動いたとき、写像を x → B(x, y) を連続にさせる
E の最も粗い位相を対 (E, F) に関する E の弱位相と言い、
σ(E, F) と書く。
530: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 16:22:59 AAS
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
誤解の恐れがないときは B(x, y) を <x, y> と書く。
531(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 16:51:36 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
E の弱位相(>>529) σ(E, F) により E は局所凸な位相線形空間になる。
証明
y ∈ F に対して p_y(x) = |<x, y>| は E の半ノルム(過去スレ007の458)
である。
σ(E, F) は半ノルムの集合 { p_y | y ∈ F } で定義される
(過去スレ007の469)。
過去スレ007の518より E は局所凸な位相線形空間である。
証明終
532: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 17:03:38 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
E の弱位相(>>529) σ(E, F) が分離的であるためには、
対 (E, F) が E に関して分離的(>>528)であることが必要十分である。
証明
y ∈ F に対して p_y(x) = |<x, y>| は E の半ノルム(過去スレ007の458)
である。
過去スレ007の535より、
σ(E, F) に関する 0 の閉包
{0}~ = { x ∈ E | すべての y ∈ F に対して p_y(x) = 0 } である。
よって、
{0}~ = { x ∈ E | すべての y ∈ F に対して <x, y> = 0 } である。
これから本命題の主張が得られる。
証明終
533: 2008/02/24(日) 01:01:25 AAS
a
534(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 07:07:16 AAS
命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F を K 上の位相線形空間とする。
H を E から F への線形写像の集合とする。
H が同程度連続(>>315)であるためには H が 0 で同程度連続であることが
十分である。
証明
H が 0 で同程度連続であるとする。
F の 0 の任意の近傍 V に対して E の 0 の近傍 W があり、
f(W) ⊂ V が任意の f ∈ H に対して成り立つ。
a を E の任意の点とする。
x - a ∈ W なら f(x - a) = f(x) - f(a) ∈ V が任意の
f ∈ H に対して成り立つ。
これは H が a で同程度連続であることを意味する。
証明終
535: 2008/02/24(日) 07:30:49 AAS
b
536: 亡国 2008/02/24(日) 07:49:07 AAS
マルハン王国の闇したらばｽﾚ:game_1733
多店舗で展開する場合は方法に問題がある。 各店舗ごとに用意すればいいかもしれないが、それだけ 秘密の漏洩になる。
そこで考え出されたのは、ネットワークによる集中管理である。ネットワークであればその制御装置本体の
設置場所をホール内である必要もなくなる。
「マルハンの店頭公開利益を見込み、第三国経由で 資金調達をする。」 その役目を買って出たのが先のメンバーである。
新韓銀行と新韓生命保険が伊藤忠との三角取引で マルハンへ迂回するというもの。中国も関わっているらしいが
詳細は不明なままである。 金額は具体的に知らされていた。１回目が８００億円、 ２回目が５～６００億円というものであった。
◎ハンの今後の目標は売り上げ５兆円、500店舗、上場すること。
新スレ→○○○マルハンパチンコタワー渋谷パート１０○○○
★★★★★このスレの解説★★★★★を読んでみるとよく判る。
2chｽﾚ:pachij←くっけて→1304777/559
537(4): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 08:01:21 AAS
命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F を K 上の位相線形空間とする。
E と F の位相はそれぞれ半ノルムの集合Γと Γ' により定義される
(過去スレ008の469)とする。
H を E から F への線形写像の集合とする。
H が同程度連続(>>315)であるためには次が成り立つことが必要十分である。
任意の q ∈ Γ' に対して p_i ∈ Γ, i = 1, . . . , n と
a ＞ 0 があり、任意の x と 任意の f ∈ H に対して
q(f(x)) ≦ a sup{ p_i(x) | i = 1, . . ., n }
となる。
証明
条件が成り立てば H は 0 で同程度連続であるから >>534 より
H は同程度連続である。
条件が必要なことを示す。
H は同程度連続であるから、任意の q ∈ Γ' と β ＞ 0 に対して
p_i ∈ Γ, i = 1, . . . , n と α ＞ 0 があり、
sup{p_i(x) | i = 1, ..., n} ≦ α なら
任意の f ∈ H に対して q(f(x)) ≦ β となる。
p(x) = sup{p_i(x) | i = 1, ..., n} とおく。
（続く）
538: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 08:01:44 AAS
>>537 の続き。
| | は K の自明でない絶対値だから、
α = |λ| ＜ 1 となる λ ∈ K があると仮定してよい。
m を整数として、p(x) ≦ |λ|^(m+1) なら p(λ^(-m)x) ≦ |λ|
q(f(λ^(-m)x)) ≦ β
q(f(x)) ≦ β|λ|^m
p(x) = 0 なら m はいくらでも大きく出来るから |λ|^m はいくらでも
0 に近づく。よって、q(f(x)) = 0 である。
p(x) ≠ 0 なら
|λ|^(m+2) ＜ p(x) ≦ |λ|^(m+1) となる整数 m がある。
|λ|^m ＜ p(x)|λ|^(-2)
よって、q(f(x)) ≦ β|λ|^m ＜ β|λ|^(-2)p(x)
a = β|λ|^(-2) とおけばよい。
証明終
539: 2008/02/24(日) 08:03:59 AAS
c
540(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 08:19:22 AAS
命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F を K 上の位相線形空間とする。
E と F の位相はそれぞれ半ノルムの集合Γと Γ' により定義される
(過去スレ008の469)とする。
H を E から F への線形写像の集合とする。
以下の条件はすべて同値である。
(1) H は同程度連続(>>315)である。
(2)
任意の q ∈ Γ' に対して p_i ∈ Γ, i = 1, . . . , n と
a ＞ 0 があり、任意の x と 任意の f ∈ H に対して
q(f(x)) ≦ a sup{ p_i(x) | i = 1, . . ., n }
となる。
(3) 任意の q ∈ Γ' に対して E の 0 の近傍 W があり、
関数の集合 { qf | f ∈ H } は W において一様に有界である。
即ち β ＞ 0 があり任意の x ∈ W と任意の f ∈ H に対して
q(f(x)) ≦ β となる。
(4) sup {qf | f ∈ H } は連続な半ノルムである。
証明
(1) と (2) の同値は >>537 で証明されている。
(2) ⇒ (3) は明らかである。
(3) ⇒ (2) は >>537 の証明から分かる。
(2) ⇒ (4) は明らかである。
(4) ⇒ (3) は明らかである。
証明終
541: 2008/02/24(日) 08:30:15 AAS
d
542(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 10:58:59 AAS
命題
K を可換とは限らない体とする。
E を K 上の左線形空間とする。
E^* = Hom(E, K) を E の双対空間とする。
E^* は K 上の右線形空間である。
x ∈ E, f ∈ E^* のとき f(x) を <x, f> で表す。
N を E の部分空間とする。
N' を N の直交補空間、つまり
N' = { f ∈ E^* | 任意の x ∈ N に対して <x, f> = 0 } とする。
N' は E/N の双対 (E/N)^* に標準的に同型である。
証明
f ∈ N' は E/N の線形形式 f' を引き起こす。
これは明らかに同型である。
証明終
543(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 11:13:49 AAS
命題
K を可換とは限らない体とする。
E を K 上の左線形空間とする。
E^* = Hom(E, K) を E の双対空間とする。
E^* は K 上の右線形空間である。
x ∈ E, f ∈ E^* のとき f(x) を <x, f> で表す。
N を E の部分空間とする。
N' を N の直交補空間、つまり
N' = { f ∈ E^* | 任意の x ∈ N に対して <x, f> = 0 } とする。
N' が有限次元なら E/N も有限次元であり、
dim N' = dim E/N である。
証明
>>542 より N' は E/N の双対 (E/N)^* に標準的に同型である。
よって dim N' = dim (E/N)^* である。
よって (E/N)^* は有限次元である。
よって (E/N)^* の双対 (E/N)^** も有限次元である。
一方、標準単射 E/N → (E/N)^** がある。
(E/N)^** は有限次元だから E/N は有限次元である。
よって dim (E/N)^* = dim E/N である。
証明終
544(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 11:27:18 AAS
命題
K を可換とは限らない体とする。
E を K 上の左線形空間とする。
E^* = Hom(E, K) を E の双対空間とする。
E^* は K 上の右線形空間である。
x ∈ E, f ∈ E^* のとき f(x) を <x, f> で表す。
M' を E^* の有限次元の部分空間とする。
N を M' の直交補空間、つまり
N = { x ∈ E | 任意の f ∈ M' に対して <x, f> = 0 } とする。
N' を N の直交補空間、つまり
N' = { f ∈ E^* | 任意の x ∈ N に対して <x, f> = 0 } とする。
このとき、M' = N' である。
証明
x ∈ E に対して ψ_x ∈ (M')^* を ψ_x(f) = <x, f> により定義する。
x に ψ_x を対応させる写像の核は N である。
よって dim E/N ≦ dim M' である。
一方、>>543 より dim N' = dim E/N である。
よって、dim N' ≦ dim M' である。
M' ⊂ N' であるから M' = N' である。
証明終
545(5): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 11:51:13 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
σ(E, F) (>>529) に関して連続な E の任意の線形形式は
x → <x, y y ∈ F の形に書ける。
対 (E, F) が F に関して分離的なら y は一意に決まる。
証明
f を σ(E, F) に関して連続な E の線形形式とする。
>>537 より a ＞ 0 と F の元 y_i, i = 1, . . ., n があり、
任意の x ∈ E に対して、
|f(x)| ≦ a sup{ |<x, y_i>| | i = 1, . . ., n } となる。
<x, y_i> = 0, i = 1, . . ., n なら f(x) = 0 である。
>>544 より f(x) = <x, y> と書ける。
ここで y は y_i, i = 1, . . ., n で生成される F の部分空間の
ある元である。
対 (E, F) が F に関して分離的なら y は一意に決まることは明らかである。
証明終
546(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 12:42:51 AAS
補題
z を複素数とする。
絶対値１の任意の複素数 ζ に対して Re(ζz) ≧ -1 なら
|z| ≦ 1 である。
証明
仮定より絶対値１の任意の複素数 ζ に対して
Re(-ζz) = -Re(ζz) ≧ -1 だから Re(ζz) ≦ 1 である。
よって |Re(ζz)| ≦ 1 である。
z ≠ 0 と仮定してよい。
z~ を z の共役とする。
ζ = z~/|z| の絶対値は１であり、
ζz = |z| である。
Re(ζz) = |z| だから上で述べたことより |z| ≦ 1 である。
証明終
547: 2008/02/24(日) 12:44:59 AAS
548(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 13:01:35 AAS
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸位相線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
M を E' の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
>>11 より E の 0 の凸近傍で平衡的(過去スレ006の630)なもの V があり
任意の x ∈ V と任意の f ∈ M に対して |f(x)| ≦ 1 となる。
V は平衡的だから絶対値１の任意の複素数 ζ と
任意の x ∈ V と任意の f ∈ M に対して |f(ζx)| = |ζf(x)| ≦ 1
となる。
>>546 より、これは Re(f(x)) ≧ -1 と同値である。
549(4): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 13:10:02 AAS
>>548 から次の定義に導かれる。
定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の部分集合とする。
M゜= { y ∈ F | Re(<x, y>) ≧ -1 } を M の極集合と言う。
550: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 18:01:49 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の部分集合とする。
M_1 を M ∪ {0} の凸包(過去スレ008の431)とする。
このとき、(M_1)゜= M゜である。
証明
(M_1)゜⊂ M゜は明らかである。
y ∈ M゜とする。
{ x ∈ E | Re(<x, y>) ≧ -1 } は E の実半空間であるから凸であり、
M と {0} を含む。
従って M_1 を含む。
よって y ∈ (M_1)゜である。
証明終
551(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 18:16:21 AAS
命題
E と F を複素数体上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
E_0 と F_0 をそれぞれ E と F を実数体上の線形空間と
見なしたものとする。
E_0 と F_0 は Re(B) に関して対をなす。
このとき弱位相(>>529) σ(E, F) と σ(E_0, F_0) は一致する。
証明
z = a + bi を複素数としたとき Re(iz) = -b である。
よって z = Re(z) - iRe(iz)
よって、
<x, y> = Re(<x, y>) - iRe(i<x, y>) = Re(<x, y>) - iRe(<ix, y>)
よって x → <x, y> が連続なことと
x → Re(<x, y>) が連続なことは同値である。
証明終
552(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 18:31:29 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の部分集合とする。
M の極集合(>>549) M゜は 0 を含み凸であり弱位相(>>529)で閉である。
証明
M の任意の元 x に対して Re(x, 0) = 0 ≧ -1 であるから
0 ∈ M゜である。
y → Re(<x, y>) は弱位相 σ(F, E) で連続であるから、
M_x = { y ∈ F | Re(x, y) ≧ -1 } は F の実半空間で
σ(F, E) で閉である。
よって、M゜= ∩{ M_x | x ∈ M } は閉凸集合である。
証明終
553(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 19:44:55 AAS
補題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
H をσ(E, F) (>>529) に関して閉な E の超平面(>>130)で
0 を含まないとする。
このとき y ∈ F があり、H = { x ∈ E | <x, y> = -1 } となる。
証明
H は 0 を含まない E の超平面だから E の線形形式 f と a ∈ K, a ≠ 0
があり、H = { x ∈ E | f(x) = a } となる。
f を -(1/a)f で置き換えて a = -1 としてよい。
H は閉だから >>148 より f は連続である。
>>545 より f は x → <x, y y ∈ F の形に書ける。
よって、H = { x ∈ E | <x, y> = -1 } となる。
証明終
554(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 20:17:27 AAS
定理(双極定理)
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の部分集合とする。
M の極集合(>>549)の極集合 M゜゜は M ∪ {0} の凸包(過去スレ008の431)
の弱位相(>>529)に関する閉包である。
証明
明らかに M ∪ {0} ⊂ M゜゜である。
M ∪ {0} の凸包の弱位相に関する閉包を N とする。
>>552 より N ⊂ M゜゜である。
a を E の元で N に含まれないとする。
>>163 より a と N を強分離(>>151)する閉実超平面 H が存在する。
H は 0 を含まないから実双線形形式 Re(<x, y>) に >>553 を適用すると
y ∈ F があり、H = { x ∈ E | Re(<x, y>) = -1 } となる。
よって N ⊂ { x ∈ E | Re(<x, y>) ＞ -1 } となり、
Re(<a, y>) ＜ -1 となる。
よって、 y ∈ M゜であり、a は M゜゜に含まれない。
即ち N = M゜゜である。
証明終
555: 2008/02/24(日) 22:56:25 AAS
e
556: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 23:13:02 AAS
訂正
>>544
>一方、>>543 より dim N' = dim E/N である。
dim E/N ≦ dim M' だから dim E/N は有限である。
よって dim E/N = dim (E/N)^* である。
>>542 より N' は (E/N)^* に標準的に同型である。
よって、dim N' = dim E/N である。
557: 2008/02/25(月) 14:11:29 AAS
f
558: 2008/02/25(月) 21:18:34 AAS
g
559(6): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/02(日) 10:33:55 AAS
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E×E' 上の双線形形式 B(x, f) を B(x, f) = f(x) で定義することにより
E と E' は対(>>527)をなす。
今後、特に断らない限り E と E' の対はこの双線形形式 B に関するもの
とする。
対 (E, E') は位相線形空間論において主要な研究対象の一つである。
明らかに対 (E, E') は E' に関して分離的(>>528)である。
対 (E, E') が E に関して分離的であるための条件を調べる
そのためにHahn-Banachの定理(>>104)の系を用意する。
560(1): king氏ね [king氏ね] 2008/03/02(日) 10:58:19 AAS
king氏ね
561(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/02(日) 11:33:32 AAS
命題(Hahn-Banachの定理(>>104)の系)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
x_0 を E の点とし、 p を E 上の半ノルム(過去スレ008の458)とする。
このとき E 上の線形形式 f で
f(x_0) = p(x_0) となり任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ p(x) と
なるものが存在する。
証明
M = { λx_0 | λ ∈ K }を x_0 で生成される E の部分線形空間とする。
g(λx_0) = λp(x_0) により M 上の線形形式 g を定義する。
x = λx_0, λ ∈ K としたとき |g(x)| = |λ|p(x_0) = p(x)
Hahn-Banachの定理(>>104)より E 上の線形形式 f で g の拡張であり
任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ p(x) となるものがある。
f は g の拡張だから f(x_0) = g(x_0) = p(x_0) である。
証明終
562(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/02(日) 11:59:21 AAS
命題(Hahn-Banachの定理(>>104)の系)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸線形空間とする。
x_0 ∈ E - {0}~ とする。
ここで {0}~ は 0 の閉包である。
このとき E 上の連続な線形形式 f で f(x_0) ≠ 0 となるものが
存在する。
証明
過去スレ008の535より E 上の連続な半ノルム p で p(x_0) ≠ 0 と
なるものが存在する。
>>561 より E 上の線形形式 f で
f(x_0) = p(x_0) となり任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ p(x) と
なるものが存在する。
p は連続だから f も連続である。
証明終
563: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/02(日) 12:16:01 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な局所凸線形空間とする。
対 (E, E') (>>559) は E に関して分離的である。
証明
E は分離的だから {0} は閉集合である。
よって >>562 より E の元 x_0 ≠ 0 に対して E 上の連続な線形形式 f で
f(x_0) ≠ 0 となるものが存在する。
即ち、対 (E, E') は E に関して分離的である。
証明終
564: 1stVirtue ◆.NHnubyYck 2008/03/02(日) 16:30:52 AAS
Reply:>>560 お前に何がわかるというのか。
565(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/02(日) 17:30:08 AAS
命題
E を 実数体上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E と E' は対をなす(>>559)。
A を E の凸な部分集合とする。
E の通常の位相で A が閉であることと E の弱位相 σ(E, E') (>>529) で
閉であることは同値である。
証明
>>545 より σ(E, E') に関して連続な E の線形形式全体は E' と一致する。
>>164 より本命題の主張が得られる。
証明終
566(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/02(日) 18:01:34 AAS
命題
E を 複素数体上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E と E' は対をなす(>>559)。
A を E の凸な部分集合とする。
E の通常の位相で A が閉であることと E の弱位相 σ(E, E') (>>529) で
閉であることは同値である。
証明
E_0 と E'_0 をそれぞれ E と E' を実数体上の線形空間と
見なしたものとする。
E_0 と E'_0 は実双線形形式 (x, f) → Re(<x, f>) により対をなす。
>>551 より σ(E, E') と σ(E_0, E'_0) は一致する。
>>545 より σ(E_0, E'_0) に関して連続な E_0 の実線形形式 g に
対して f ∈ E' が存在し、任意の x ∈ E に対して g(x) = Re(<x, f>)
となる。従って、g は E_0 の通常の位相でも連続である。
逆に E_0 の通常の位相で連続な E_0 の実線形形式 g に対して
>>102 より 任意の x ∈ E に対して g(x) = Re(<x, f>) となる
E 上の複素線形形式 f が一意に存在する。
>>102 の証明から、任意の x ∈ E に対して f(x) = g(x) - ig(ix)
であるから f は E の通常の位相で連続である。即ち、f ∈ E' である。
よって、g は σ(E_0, E'_0) に関して連続である。
以上から E_0 の通常の位相で閉な E_0 の超平面全体と
σ(E_0, E'_0) に関して閉な E_0 の超平面全体は一致する。
よって、>>164 より本命題の主張が得られる。
証明終
567: 2008/03/02(日) 23:30:54 AAS
h
568: 2008/03/03(月) 11:57:28 AAS
i
569: 2008/03/04(火) 07:30:58 AAS
j
570(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/04(火) 20:57:39 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のの位相線形空間とする。
B を E における樽(過去スレ008の598)とする。
このとき、下半連続(過去スレ008の113)な半ノルム(過去スレ008の458) p で
B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } となるものが一意に存在する。
p が連続となるためには B が 0 の近傍であることが必要十分である。
証明
任意の x ∈ E に対して、p(x) = inf { α ＞ 0 | x ∈ αB } とおく。
>>19 より p が下半連続であることを示せばよい。
B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } であるから、
任意の α ＞ 0 に対して αB = { x ∈ E | p(x) ≦ α } である。
B は閉集合だから αB も閉集合である。
よって、{ x ∈ E | p(x) = 0 } = ∩{αB | α ＞ 0} も閉集合である。
α ＜ 0 のときは { x ∈ E | p(x) ≦ α } は空集合である。
以上から任意の実数 α に対して { x ∈ E | p(x) ≦ α } は閉集合である。
過去スレ008の114から p は下半連続である。
証明終
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 431 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ
ぬこの手 ぬこTOP 0.073s