[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)

代数的整数論 009 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/

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190: Kummer ◆g2BU0D6YN2 [] 2008/01/27(日) 10:42:29 補題 K を必ずしも可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 E と F をそれぞれ K 上の位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。 f : E → F を連続な線形写像で f(E) は第２類(>>175)の集合とする。 E における 0 の任意の近傍 V に対して f(V)~ は F における 0 の近傍 である。ここで f(V)~ は f(V) の閉包を表す。 証明 過去スレ006の635より E における 0 の平衡的近傍 W で、 W + W ⊂ V となるものが存在する。 | | は自明でない絶対値だから K の元 λ で |λ| ＞ 1 となるものが 存在する。 >>189 より E = ∪(λ^n)W である。 x ∈ E, x → (λ^n)x は E の位相同型であるから (λ^n)W の閉包は (λ^n)W~ である。 同様に、 y ∈ F, y → (λ^n)y は F の位相同型であるから (λ^n)f(W) の閉包は (λ^n)f(W)~ である。 よって、f(E) ⊂ ∪f((λ^n)W~) ⊂ ∪(λ^n)f(W)~ f(E) は第２類だから、ある n ≧ 0 に対して (λ^n)f(W)~ は内点をもつ。 y ∈ F, y → (λ^n)y は F の位相同型であるから f(W)~ は内点 b をもつ。 U を F における 0 の開近傍で b + U ⊂ f(W)~ とする。 W は平衡的だから -W = W である。よって、-f(W) = f(W) よって、-f(W)~ = f(W)~ よって -b - U ∈ f(W)~ 0 = b + (-b) ∈ U - U ⊂ f(W)~ + f(W)~ ⊂ (f(W) + f(W))~ ⊂ f(V)~ U - U は 0 の近傍であるから f(V)~ は 0 の近傍である。 証明終 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/190

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