[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)
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178(5): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/01/26(土) 16:19:34 AAS
定理(Baire)
完備な距離空間 X はその位相に関して Baire 空間(>>176)である。
証明
X において >>177 の (4) が成り立つことを示せばよい。
即ち、X の稠密な開集合の列 (U_n), n ≧ 1 に対して
その共通部分 U = ∩U_n も稠密なことを示せば良い。
G を X の任意の空でない開集合とする。G ∩ U ≠ φ を示す。
空ない開集合の列 (G_n), n ≧ 1 を帰納法により、
G_1 = G
(G_(n+1))~ ⊂ G_n ∩ U_n
δ((G_(n+1))~) ≦ (1/2)δ((G_n)~) となるように定義する。
ここで、(G_n)~ は G_n の閉包であり、
δ((G_n)~) は (G_n)~ の直径である。
即ち、δ((G_n)~) = sup { d(x, y) | (x, y) ∈ (G_n)~×(G_n)~ }
X は一様空間であるから過去スレ006の212より正則である。
G_n が空でない開集合なら G_n ∩ U_n ≠ φ であるから
G_(n+1)~ ⊂ G_n ∩ U_n となるような空でない開集合 G_(n+1) が
存在する。このとき δ((G_(n+1))~) ≦ (1/2)δ((G_n)~) と出来る。
よって、上記のような列 (G_n) が存在する。
∩G_n ⊂ G ∩ U であり、∩G_n = ∩(G_n)~ であるから
∩(G_n)~ ≠ φ を示せばよい。
lim δ((G_n)~) = 0 だから ((G_n)~) は Cauchy フィルターの基底である。
X は完備だからこれは収束し、その極限点は ∩(G_n)~ に属す。
証明終
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