[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)

代数的整数論 009 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/

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137: Kummer ◆g2BU0D6YN2 [] 2008/01/13(日) 15:25:32 定理(Hahn-Banachの定理の幾何版) E を実数体 R 上の位相線形空間とする。 A を E の空でない開凸集合とする。 M を E の空でないアフィン部分空間(>>124)で A と交わらないとする。 このとき M ⊂ H となる閉超平面(>>130)で A と交わらないものが 存在する。 証明 A は空でないから a ∈ A が存在する。 0 ∈ A でないなら A を A - a, M を M - a で置き換えることにより 0 ∈ A と仮定してよい。 任意の x ∈ E に対して p(x) = inf { α ＞ 0 | x ∈ αA } とおく。 >>136 より p は劣線形関数であり A = { x ∈ E | p(x) ＜ 1 } である。 M は空でなく 0 を含まないから M = a + W と書ける。ここで W は E の 線形部分空間であり、 a は E の元で W に含まれない。 V = Ra + W とおく。 V は E の線形部分空間であり、M はその超平面である。 V は Ra と W の直和であるから V の任意の元 x は x = λa + w と 一意に書ける。ここで λ ∈ R, w ∈ W である。 f(x) = λ により線形形式 f : V → R を定義する。 M = a + W = { x ∈ V | f(x) = 1 } である。 A ∩ M = φ であるから x ∈ M のとき p(x) ≧ 1 である。 (続く) http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/137

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