[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)
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566(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/02(日) 18:01:34 AAS
命題
E を 複素数体上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E と E' は対をなす(>>559)。
A を E の凸な部分集合とする。
E の通常の位相で A が閉であることと E の弱位相 σ(E, E') (>>529) で
閉であることは同値である。
証明
E_0 と E'_0 をそれぞれ E と E' を実数体上の線形空間と
見なしたものとする。
E_0 と E'_0 は実双線形形式 (x, f) → Re(<x, f>) により対をなす。
>>551 より σ(E, E') と σ(E_0, E'_0) は一致する。
>>545 より σ(E_0, E'_0) に関して連続な E_0 の実線形形式 g に
対して f ∈ E' が存在し、任意の x ∈ E に対して g(x) = Re(<x, f>)
となる。従って、g は E_0 の通常の位相でも連続である。
逆に E_0 の通常の位相で連続な E_0 の実線形形式 g に対して
>>102 より 任意の x ∈ E に対して g(x) = Re(<x, f>) となる
E 上の複素線形形式 f が一意に存在する。
>>102 の証明から、任意の x ∈ E に対して f(x) = g(x) - ig(ix)
であるから f は E の通常の位相で連続である。即ち、f ∈ E' である。
よって、g は σ(E_0, E'_0) に関して連続である。
以上から E_0 の通常の位相で閉な E_0 の超平面全体と
σ(E_0, E'_0) に関して閉な E_0 の超平面全体は一致する。
よって、>>164 より本命題の主張が得られる。
証明終
567: 2008/03/02(日) 23:30:54 AAS
h
568: 2008/03/03(月) 11:57:28 AAS
i
569: 2008/03/04(火) 07:30:58 AAS
j
570(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/04(火) 20:57:39 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のの位相線形空間とする。
B を E における樽(過去スレ008の598)とする。
このとき、下半連続(過去スレ008の113)な半ノルム(過去スレ008の458) p で
B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } となるものが一意に存在する。
p が連続となるためには B が 0 の近傍であることが必要十分である。
証明
任意の x ∈ E に対して、p(x) = inf { α ＞ 0 | x ∈ αB } とおく。
>>19 より p が下半連続であることを示せばよい。
B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } であるから、
任意の α ＞ 0 に対して αB = { x ∈ E | p(x) ≦ α } である。
B は閉集合だから αB も閉集合である。
よって、{ x ∈ E | p(x) = 0 } = ∩{αB | α ＞ 0} も閉集合である。
α ＜ 0 のときは { x ∈ E | p(x) ≦ α } は空集合である。
以上から任意の実数 α に対して { x ∈ E | p(x) ≦ α } は閉集合である。
過去スレ008の114から p は下半連続である。
証明終
571: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/04(火) 21:20:33 AAS
定義
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
E' をその双対(>>65)とする。
E' 上の弱位相(>>66)で有界(>>35)な E' の部分集合を弱有界と言う。
E' 上の強位相(>>66)で有界な E' の部分集合を強有界と言う。
572(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/04(火) 22:32:02 AAS
>>549 を訂正する。
定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の部分集合とする。
M゜= { y ∈ F | 任意の x ∈ M に対して Re(<x, y>) ≧ -1 } を
M の極集合と言う。
573: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/04(火) 22:52:22 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の平衡的(過去スレ006の630)な部分集合とする。
M゜を M の極集合(>>572)とする。
M゜= { y ∈ F | 任意の x ∈ E に対して |<x, y>| ≦ 1 } であり、
M゜は平衡的な凸集合であり σ(E, F) で閉である。
証明
定義(>>572)から
M゜= { y ∈ F | 任意の x ∈ M に対して Re(<x, y>) ≧ -1 } である。
K が実数体のときは、任意の x ∈ M に対して -x ∈ M だから
y ∈ F のとき Re(-<x, y>) = Re(<-x, y>) より、
M゜= { y ∈ F | 任意の x ∈ E に対して |<x, y>| ≦ 1 } である。
K が複素数体のときは、λ ∈ K, |λ| = 1 のとき
任意の x ∈ M に対して λx ∈ M だから >>546 より
M゜= { y ∈ F | 任意の x ∈ E に対して |<x, y>| ≦ 1 } である。
以上から M゜が平衡的であることは明らかである。
>>552より M゜は凸集合であり σ(E, F) で閉である。
証明終
574: 2008/03/05(水) 13:45:58 AAS
k
575: 2008/03/05(水) 23:40:29 AAS
l
576: 2008/03/08(土) 05:31:22 AAS
m
577: 2008/03/08(土) 20:51:36 AAS
n
578: 2008/03/08(土) 21:37:17 AAS
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579: 2008/03/08(土) 21:37:45 AAS
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580: 2008/03/08(土) 21:38:14 AAS
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581: 2008/03/08(土) 21:38:53 AAS
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582: 2008/03/08(土) 21:40:05 AAS
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583: 2008/03/08(土) 21:42:33 AAS
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584: 2008/03/08(土) 21:46:06 AAS
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585: 2008/03/08(土) 21:51:10 AAS
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586: 2008/03/08(土) 21:51:36 AAS
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587: 2008/03/08(土) 21:52:00 AAS
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588: 2008/03/09(日) 03:30:31 AAS
o
589: 2008/03/09(日) 11:45:26 AAS
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590: 2008/03/09(日) 11:47:57 AAS
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591: 2008/03/09(日) 23:35:07 AAS
p
592: 2008/03/10(月) 23:28:38 AAS
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593: 2008/03/10(月) 23:29:20 AAS
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594: 2008/03/11(火) 11:56:22 AAS
q
595: 2008/03/11(火) 22:17:50 AAS
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596: 2008/03/11(火) 22:19:51 AAS
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597: 2008/03/12(水) 00:40:25 AAS
r
598: 2008/03/12(水) 10:39:05 AAS
s
599: 2008/03/12(水) 20:41:09 AAS
t
600: 2008/03/12(水) 23:52:02 AAS
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601: 2008/03/13(木) 13:20:19 AAS
u
602: 2008/03/14(金) 00:23:00 AAS
v
603: 2008/03/14(金) 08:23:32 AAS
w
604: 2008/03/15(土) 10:16:34 AAS
x
605: 2008/03/15(土) 20:13:36 AAS
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606: 2008/03/15(土) 20:14:29 AAS
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607: 2008/03/15(土) 20:15:03 AAS
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608: 2008/03/15(土) 20:15:39 AAS
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609: 2008/03/15(土) 20:18:23 AAS
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610(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 13:49:40 AAS
>>566 の証明は良くないので無視してください。
>>566 の命題は正しいが後で直接使うかどうか不明なのでやはり今のところ
無視してください。
611(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 13:54:37 AAS
命題
K を実数体上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E と E' は対をなす(>>559)。
M を E の部分集合とする。
M の凸包の閉包と M の凸包の弱位相σ(E, E')による閉包は一致する。
証明
>>164 より M の凸包の閉包は M を含む閉半空間(>>150)全体の
共通集合である。
>>531 より E は弱位相σ(E, E')で局所凸な位相線形空間になる。
>>164 より M の凸包のσ(E, E')による閉包は M を含む閉半空間全体の
共通集合である。
>>545 より σ(E, E') に関して連続な E の線形形式全体は E' と一致する。
よって、E の通常位相に関する閉半空間とσ(E, E')による閉半空間は
同じものである。
これから本命題が得られる。
証明終
612: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 13:55:54 AAS
>>611
>K を実数体上の局所凸線形空間とする。
E を実数体上の局所凸線形空間とする。
613(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 14:15:28 AAS
命題
E を複素数体上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E と E' は対をなす(>>559)。
M を E の部分集合とする。
M の凸包の閉包と M の凸包の弱位相σ(E, E')による閉包は一致する。
証明
E_0 と E'_0 をそれぞれ E と E' を実数体上の線形空間と
見なしたものとする。
E_0 と E'_0 は実双線形形式 (x, f) → Re(<x, f>) により対をなす。
>>551 より σ(E, E') と σ(E_0, E'_0) は一致する。
>>545 より σ(E_0, E'_0) に関して連続な E_0 の実線形形式 g に
対して f ∈ E' が存在し、任意の x ∈ E に対して g(x) = Re(<x, f>)
となる。従って、g は E_0 の通常の位相でも連続である。
逆に E_0 の通常の位相で連続な E_0 の実線形形式 g に対して
>>102 より 任意の x ∈ E に対して g(x) = Re(<x, f>) となる
E 上の複素線形形式 f が一意に存在する。
>>102 の証明から、任意の x ∈ E に対して f(x) = g(x) - ig(ix)
であるから f は E の通常の位相で連続である。即ち、f ∈ E' である。
よって、g は σ(E_0, E'_0) に関して連続である。
以上から E_0 の通常の位相で閉な E_0 の超平面全体と
σ(E_0, E'_0) に関して閉な E_0 の超平面全体は一致する。
よって >>611 の証明と同様にして本命題が得られる。
証明終
614: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 14:19:00 AAS
>>610
>>>566 の証明は良くないので無視してください。
>>566 の証明は >>613 で使ったのでそれほど悪くはないかもしれない
（苦笑）
615: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 14:21:48 AAS
命題(双極定理(>>554)の系)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E と E' は対をなす(>>559)。
M を E の部分集合とする。
M の極集合(>>549) M゜の極集合 M゜゜は M ∪ {0} の凸包の閉包である。
証明
双極定理(>>554)と>>611と>>613より明らかである。
616: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 14:42:23 AAS
局所凸位相線形空間は局所凸空間とも言う。
617(6): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 14:44:10 AAS
定義
E を を実数体または複素数体上の局所凸空間とする。
E の任意の樽(過去スレ008の598)が 0 の近傍であるとき E を樽型空間(barreled space)と言う。
618(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 15:19:14 AAS
命題
E を実数体または複素数体上の局所凸空間で Baire 空間(>>176)とする。
E は樽型空間(>>617)である。
証明
B を E の樽とする。
B は吸収的だから E = ∪{nB | n = 1, 2, ... } である。
>>177 より、ある整数 n ＞ 0 に対して nB は内点を持つ。
よって B も内点 x を持つ。
x = 0 なら B は 0 の近傍である。
よって x ≠ 0 と仮定してよい。
B の内部を int(B) と書く。
y ∈ E に -y を対応させる写像を f とする。
f は E の位相空間としての自己同型であるから
B は平衡的だから f(B) = B である。
f(int(B)) = int(f(B)) = int(B) である。
よって -x ∈ int(B) である。
B は凸だから、過去スレ008の435より B の内部 int(B) も凸である。
よって 0 ∈ int(B) である。
証明終
619(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 15:24:56 AAS
命題
Frechet 空間(>>2)は樽型空間(>>617)である。
証明
Baireの定理(>>178)より、Frechet 空間は Baire 空間である。
よって、>>618 より樽型空間である。
証明終
620(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 15:28:51 AAS
Banach 空間(過去スレ008の550)は Frechet 空間であるから
>>619より樽型空間である。
621: 2008/03/16(日) 15:30:22 AAS
Kummerさんは何者ですか？
622: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 15:39:35 AAS
>>618
>f は E の位相空間としての自己同型であるから
f は E の位相空間としての自己同型である。
623(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 19:27:36 AAS
命題
E を実数体または複素数体上の局所凸空間とする。
E が樽型空間(>>617)であるためには E の任意の下半連続(過去スレ008の113)
な半ノルム(過去スレ008の458)が連続であることが必要十分である。
証明
E を樽型空間とし、p を E の任意の下半連続な半ノルムとする。
B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } は過去スレ008の516より凸集合である。
B が吸収的かつ平衡的であることは明らかである。
p は下半連続だから過去スレ008の114より B は閉集合である。
よって B は樽である。E は樽型空間だから B は 0 の近傍である。
>>570 より p は連続である。
逆に E の任意の下半連続な半ノルムが連続であるとする。
B を E における樽とする。
>>570 より E の下半連続な半ノルム p で
B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } となるものが一意に存在する。
p は連続であるから >>570 より B は 0 の近傍である。
証明終
624(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 19:50:45 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
F を K 上の分離的な位相線形空間とする。
F(E, F) を E から F への写像全体とする。
Hom(E, F) を E から F への線形写像全体とする。
Hom(E, F) は F(E, F) の単純収束の位相(過去スレ007の154)に関して
閉である。
証明
x ∈ E, y ∈ E, λ ∈ K, μ ∈ K のとき
A(x, y, λ, μ) = { f ∈ F(E, F) | f(λx + μy) = λf(x) + μf(y) }
とおく。
f に f(x) を対応させる写像は連続である。
従って、f に f(λx + μy) を対応させる写像 G と
f に λf(x) + μf(y) を対応させる写像 H はそれぞれ連続である。
A(x, y, λ, μ) = { f ∈ F(E, F) | G(f) = H(f) } である。
F は分離的であるから >>204 より A(x, y, λ, μ) は閉である。
Hom(E, F) = ∩{ A(x, y, λ, μ) | x ∈ E, y ∈ E, λ ∈ K, μ ∈ K }
であるから Hom(E, F) は閉である。
証明終
625(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 20:06:39 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
F を K 上の分離的な位相線形空間とする。
F(E, F) を E から F への写像全体とする。
F(E, F) には単純収束の位相(過去スレ007の154)を入れる。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
H を L(E, F) の同程度連続(>>315)な部分集合とする。
H の F(E, F) における閉包 H~ は L(E, F) に含まれ同程度連続である。
証明
>>624 より H~ の各元は線形写像である。
>>326 より H~ は同程度連続である。
よって H~ ⊂ L(E, F) である。
証明終
626: 2008/03/17(月) 10:29:24 AAS
y
627: 2008/03/18(火) 09:22:59 AAS
z
628: 2008/03/18(火) 20:45:28 AAS
a
629: 2008/03/19(水) 16:27:16 AAS
b
630(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 10:36:52 AAS
命題
E と F を位相アーベル群とする。
H を E から F への連続準同型写像からなる集合とする。
このとき次の条件は同値である。
(1) H は 0 で同程度連続(>>315)である。
(2) H は同程度連続(>>315)である。
(3) H は同程度一様連続(>>316)である。
証明
(3) ⇒ (2) ⇒ (1) は明らかであるから、
(1) ⇒ (3) を証明すればよい。
仮定から F の 0 の任意の近傍 V に対して E の 0 の近傍 W が存在し、
x ∈ W, f ∈ H に対して f(x) ∈ V となる。
よって、x - y ∈ W のとき f(x - y) = f(x) - f(y) ∈ V となる。
よって、H は同程度一様連続である。
証明終
631(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 11:37:47 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の局所凸空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
L(E, F) の部分集合 H が同程度連続(>>315)であるためには
F の任意の連続な半ノルム p に対して sup { pf | f ∈ H } が
E の任意の連続な半ノルムであることが必要十分である。
証明
>>540より明らかである。
632(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 11:50:38 AAS
定義
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
L(E, F) の単純収束の位相(>>57)に関して有界(>>35)な部分集合を
L(E, F) の単純有界な部分集合と言う。
633(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 13:00:14 AAS
定義
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の局所凸空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
L(E, F) の部分集合 H が単純有界(>>632)であるためには
F の任意の連続な半ノルム p と任意の x ∈ E に対して
{ p(f(x)) | f ∈ H } が有界であることが必要十分である。
証明
>>15より F の 0 の近傍で樽となるもの全体は 0 の基本近傍系となる。
F の連続な半ノルム p に対して
V(p, 1) = { x ∈ F | p(x) ≦ 1 } とおく。
過去スレ008の520より V(p, 1) は樽である。
よって、>>19より V(p, 1) の全体は 0 の基本近傍系である。
F の連続な半ノルム p と E の有限部分集合 A に対して
W(A, p) = { f ∈ L(E, F) | x ∈ A のとき p(f(x)) ≦ 1 } とおく。
W(A, p) の全体は L(E, F) の単純収束に位相の 0 の基本近傍系である。
H が単純有界であるとは、FE の任意の連続な半ノルム p と
E の任意の有限部分集合 A に対して、ある λ ∈ K, λ ≠ 0 があり、
H ⊂ λW(A, p) となることである。
g ∈ λW(A, p) であることは
x ∈ A のとき p((1/λ)g(x)) ≦ 1 即ち p(g(x)) ≦ |λ| と同値である。
これから命題の主張は明らかである。
証明終
634(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 13:14:28 AAS
定理(一般化されたBanach-Steinhausの定理)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の樽型空間(>>617))とし、F を K 上の局所凸空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
L(E, F) の任意の単純有界(>>632)な部分集合 H は同程度連続である。
証明
F の任意の連続な半ノルム p に対して q = sup { pf | f ∈ H } とおく。
即ち、任意の x ∈ E に対して q(x) = sup { p(f(x)) | f ∈ H } である。
>>633 より、任意の x ∈ E に対して q(x) は有限である。
従って q は E の半ノルムである。
p は連続だから f ∈ H のとき pf は連続、従って下半連続
(過去スレ008の113)である。
過去スレ008の116より q も下半連続である。
>>623 より q は連続である。
>>631 より H は同程度連続である。
証明終
635(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 14:04:56 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
H を L(E, F) の部分集合とする。
H が同程度連続(>>315)であるためには
sup{ |f| | f ∈ H } が有限であることが必要十分である。
ここで |f| は f のノルム(過去スレ006の690)である。
即ち |f| = sup { |f(x)| | x ∈ E, |x| ≦ 1 }
証明
過去スレ006の692 より
f ∈ H と実数 a ＞ 0 に対して |f| ≦ a となることと
x ∈ E のとき |f(x)| ≦ a|x| となることは同値である。
よって >>540 より本命題の主張が得られる。
証明終
636(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 14:31:17 AAS
命題(一様有界性定理(the uniform boundedness theorem))
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の Banach 空間(過去スレ008の550)とし、
F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
H を L(E, F) の部分集合とする。
任意の x ∈ E に対して sup{ |f(x)| | f ∈ H } が有限なら
sup{ |f| | f ∈ H } も有限である。
証明
>>633 より H は単純有界である。
>>620 より E は樽型空間である。
従って >>634 より H は同程度連続である。
>>635 より sup{ |f| | f ∈ H } は有限である。
証明終
637(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 14:48:05 AAS
>>636 の命題は Banach-Steinhaus の定理とも呼ばれる。
しかし、本スレではBourbakiに従ってこの呼び名は別の命題（後述）に使う。
>>636 の命題を共鳴定理と呼ぶ文献もある
(例えば K. Yosida の Functional analysis)。
この命題は Banach と Steinhaus による1927年の共著論文
Sur le principe de condensation des singularites で証明された。
この題名を翻訳するなら「特異性の凝集について」だろうか。
638: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 14:49:27 AAS
>>637
>この題名を翻訳するなら「特異性の凝集について」だろうか。
この題名を翻訳するなら「特異性の凝集原理について」だろうか。
639(1): 2008/03/20(木) 15:39:26 AAS
おい
KUMMER サゲで書けよ
邪魔なんだよ、おまえ専用のスレが上がってくるのは
640: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/22(土) 10:54:29 AAS
Boubaki は次の命題を Banach-Steinhaus の定理と呼んでいる。
命題(Banach-Steinhaus の定理)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の樽型空間(>>617))とし、F を K 上の分離的局所凸空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
(f_n), n = 1, 2, ... を L(E, F) の元からなる列とし、
f を E から F への写像とする。
各点 x ∈ E で f_n(x) は f(x) に収束するとする。
このとき f ∈ L(E, F) であり、E の任意の全有界集合(過去スレ006の302)
で (f_n) は f に一様収束する。
--------------------------------------------------------
この命題において f ∈ L(E, F) であることは >>634 と >>625 よりわかる。
E の任意の全有界集合上で (f_n) が f に一様収束することを証明するため
全有界集合における一様収束に関して>>351の命題の類似(後述)が必要である。
そのための準備を述べる。
641(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/22(土) 10:59:33 AAS
定義
X と Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
Σ を X の全有界部分集合(過去スレ006の302)全体とする。
F(X, Y) の Σ-収束の一様構造(過去スレ007の150)を全有界収束の一様構造と
言い、これで定まる位相を全有界収束の位相という。
642(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/22(土) 11:28:08 AAS
命題
X と Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。
X^, Y^ をそれぞれ X, Y の分離完備化(過去スレ006の288)とする。
φ: X → X^
ψ: Y → Y^
をそれぞれ標準写像とする。
f : X → Y を任意の一様連続写像とする。
一様連続写像 f^ : X^ → Y^ で ψf = f^φ となるものが一意に存在する。
すなわち次の図式は可換である。
X → Y
| |
v v
X^→ Y
証明
過去スレ006の287を ψf : X → Y^ に適用すればよい。
643: 2008/03/22(土) 11:42:36 AAS
c
644(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/22(土) 13:15:40 AAS
命題
X と Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。
H を X から Y への一様連続写像全体のある部分集合とする。
X^, Y^ をそれぞれ X, Y の分離完備化(過去スレ006の288)とする。
φ: X → X^
ψ: Y → Y^
をそれぞれ標準写像とする。
f ∈ H のとき>>642より一様連続写像 f^ : X^ → Y^ で
ψf = f^φ となるものが一意に存在する。
H^ = { f^ | f ∈ H } とおく。
H が同程度一様連続(>>316)であるたには H^ が同程度一様連続であることが
必要十分である。
証明
X の一様構造は X^ の一様構造のφによる逆像である(過去スレ006の278)。
同様に Y の一様構造は Y^ の一様構造のψによる逆像である。
H^ が同程度一様連続であるとする。
Y の任意の近縁 V に対して Y^ の近縁 V^ があり V は V^ のψ×ψによる
逆像である。
仮定より X^ の近縁 W^ があり (φ(x), φ(y)) ∈ W^ なら
任意の f ∈ H に対して (f^(φ(x)), f^(φ(y))) ∈ V^ となる。
これは (ψf(x), ψf(y)) ∈ V^ を意味する。
よって、(f(x), f(y)) ∈ V である。
W^ のφ×φによる逆像を W とすれば、
(x, y) ∈ W なら (φ(x), φ(y)) ∈ W^ である。
上記から (f(x), f(y)) ∈ V である。
即ち H は同程度一様連続である。
(続く)
645: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/22(土) 13:16:39 AAS
>>644の続き。
逆に H が同程度一様連続であるとする。
Y^ の任意の閉近縁 V^ に対して V^ のψ×ψによる逆像を V とする。
仮定より X の近縁 W があり
(x, y) ∈ W, f ∈ H なら (f(x), f(y)) ∈ V である。
φ×φ(W) の閉包を W^ とする。
φ : X → φ(X) は全射で X の一様構造は φ(X) の一様構造の
φ×φによる逆像だから、φ×φ(W) は φ(X) の近縁である。
過去スレ006の291より W^ は X^ の近縁である。
φ×φ(W) の任意の元は (φ(x), φ(y)), (x, y) ∈ W と書ける。
このとき f ∈ H なら
(f^φ(x), f^φ(y)) = (ψf(x), ψf(y)) ∈ V^
f^ は連続で V^ は閉だから f^×f^(W^) ⊂ V^ となる。
即ち、H^ は同程度一様連続である。
証明終
646(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/22(土) 14:37:47 AAS
命題
X と Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度一様連続(>>316)とする。
D を X の稠密な部分集合とする。
このとき、H の上で全有界収束の一様構造(>>641)と
単純収束の一様構造(過去スレ007の154)と
D での単純収束の一様構造(過去スレ007の161)はすべて一致する。
証明
それぞれの一様収束の定義から、
全有界収束の一様構造は単純収束の一様構造より細かく、
単純収束収束の一様構造は D での単純収束の一様構造より細かい。
従って、H の上で D での単純収束の一様構造が全有界収束の一様構造
より細かいことを示せばよい。
すなわち、Y の近縁 V と X の全有界集合 A が与えられたとき
Y の近縁 W と D の有限集合 F があり、
f ∈ H, g ∈ H で任意の x ∈ F に対して (f(x), g(x)) ∈ W
のとき
任意の x ∈ A に対して (f(x), g(x)) ∈ V となることを示せばよい。
X^, Y^ をそれぞれ X, Y の分離完備化(過去スレ006の288)とする。
φ: X → X^
ψ: Y → Y^
をそれぞれ標準写像とする。
f ∈ H のとき>>642より一様連続写像 f^ : X^ → Y^ で
ψf = f^φ となるものが一意に存在する。
H^ = { f^ | f ∈ H } とおく。
Y の一様構造は Y^ の一様構造のψによる逆像である(過去スレ006の278)。
よって Y^ の近縁 V^ があり V は V^ のψ×ψによる逆像である。
(続く)
647: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/22(土) 14:38:35 AAS
>>646の続き。
>>644 より H^ は同程度一様連続である。
φ(A) の閉包 φ(A)~ は分離かつ完備である。
>>457より φ(A)~ は A の分離完備化である。
過去スレ006の317より φ(A)~ はコンパクトである。
φ(D) は X^ で稠密である。
よって >>351 より Y^ の近縁 W^ と D の有限集合 F があり、
任意の x ∈ F に対して (f^(φ(x)), g^(φ(x))) ∈ W^ のとき
任意の x ∈ A に対して (f^(φ(x)), g^(φ(x))) ∈ V^ となる。
W を W^ のψ×ψによる逆像とする。
(f^(φ(x)), g^(φ(x))) = (ψf(x), ψg(x)) だから
(f^(φ(x)), g^(φ(x))) ∈ W^ は (f(x), g(x)) ∈ W と同値である。
同様に (f^(φ(x)), g^(φ(x))) ∈ V^ は
(f(x), g(x)) ∈ V と同値である。
証明終
648: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/22(土) 15:04:00 AAS
命題(Banach-Steinhaus の定理)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の樽型空間(>>617))とし、F を K 上の分離的局所凸空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
(f_n), n = 1, 2, ... を L(E, F) の元からなる列とし、
f を E から F への写像とする。
各点 x ∈ E で f_n(x) は f(x) に収束するとする。
このとき f ∈ L(E, F) であり、E の任意の全有界集合(過去スレ006の302)
で (f_n) は f に一様収束する。
証明
各点 x ∈ E で f_n(x) は f(x) に収束するから
F の任意の連続な半ノルム p に対して p(f_n(x)) は p(f(x)) に収束する。
従って { p(f_n(x)) | n = 1, 2, ... } は有界である。
>>633 より H = { f_n | n = 1, 2, ... } は単純有界である。
>>634 より H は同程度連続である。
>>625 より H~ も同程度連続で H~ ⊂ L(E, F) である。
f ∈ H~ だから f ∈ L(E, F) である。
>>630 より H~ は同程度一様連続である。
>>646 より H~ の上で全有界収束の一様構造と
単純収束の一様構造は一致する。
よって E の任意の全有界集合で (f_n) は f に一様収束する。
証明終
649: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/23(日) 08:51:10 AAS
全有界収束について述べたので位相線形空間における全有界集合に
ついて述べる。
650: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/23(日) 09:02:17 AAS
命題
X を一様空間とし A を X の全有界集合とする。
A の閉包 A~ も全有界である。
証明
V を X の閉近縁とする。
A = ∪{ B_i | i = 1, ..., n } となる。
ここで各 B_i は V 程度に小さい(過去スレ006の235) X の部分集合である。
(B_i)×(B_i) ⊂ V であり、V は閉集合だから
(B_i)~×(B_i)~ ⊂ V である。
A~ ⊂ ∪{ (B_i)~ | i = 1, ..., n } である。
X の閉近縁全体は X の基本近縁系である(過去スレ006の205)から
A~ は全有界である。
証明終
651(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/23(日) 09:30:32 AAS
命題
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
A_i, i = 1, 2, ..., n を E の準コンパクトな凸集合とする。
∪{ A_i | i = 1, 2, ..., n } の凸包(過去スレ008の431) B は
準コンパクトである。
証明
R を実数体とする。
Δ = { (t_1, ... , t_n) ∈ R^n | 各 t_i ≧ 0, t_1 + ... + t_n = 1 }
はコンパクトである。
従って Δ×(A_1)×...×(A_n) は準コンパクトである。
Δ×(A_1)×...×(A_n) から E への連続写像 f を
f(t_1, ... , t_n, x_1, ... , x_n) = (t_1)(x_1) + ... + (t_n)(x_n)
で定義する。
B = f(Δ×(A_1)×...×(A_n)) であるから B は準コンパクトである。
証明終
652: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/23(日) 09:38:19 AAS
命題
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
E の有限部分集合の凸包は準コンパクトである。
従って全有界である。
証明
E の１点からなる集合は準コンパクトな凸集合である。
よって >>651 より E の有限部分集合の凸包は準コンパクトである。
過去スレ006の313よりこれは全有界である。
証明終
653: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/23(日) 10:16:41 AAS
>>494
>よって H はコンパクト収束の位相で C(X, Y) において相対コンパクト
>である。
これは飛躍があるので以下に補足する。
>>326 より H~ は同程度連続である。
>>351 より H~ の上でコンパクト収束の一様構造と単純収束の一様構造は
一致する。
よって H~ はコンパクト収束の位相でコンパクトである。
よって H はコンパクト収束の位相で相対コンパクトである。
654: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/23(日) 15:02:10 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
H を L(E, F) の同程度連続(>>315)な部分集合する。
H は L(E, F) の有界収束の位相(>>57)で有界(>>35)である。
証明
V を F の 0 の近傍とし B を E の有界集合としたとき
U(B, V) = { f ∈ L(E, F) | f(B) ⊂ V } とおく。
B と V を動かしたとき U(B, V) の全体は L(E, F) の有界収束の位相の
0 の基本近傍系である。
H は同程度連続だから F の 0 の近傍 V に対して E の 0 の近傍 W で
H(W) ⊂ V となるものがある。
ここで H(W) = { f(x) | f ∈ H, x ∈ W } である。
B を E の有界集合としたとき K の元 λ≠ 0 で B ⊂ λW となるものがある。
(1/λ)B ⊂ W だから (1/λ)H(B) ⊂ H(W) ⊂ V
即ち (1/λ)H ⊂ U(B, V)
よって H ⊂ λU(B, V)
よって H は有界収束の位相で有界である。
証明終
655: 2008/03/24(月) 03:32:45 AAS
>>639
こぉんの、sage強要房が
>>250-251嫁や、専ブラ使って透明化する位の努力しろや
sage強要撲滅委員会 part30
2chｽﾚ:accuse
656: 2008/03/25(火) 03:38:49 AAS
d
657: 2008/03/26(水) 15:14:18 AAS
e
658: 2008/03/27(木) 15:01:59 AAS
f
659: 2008/03/28(金) 07:09:57 AAS
g
660: 2008/03/29(土) 12:17:12 AAS
h
661: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 01:35:15 AAS
過去スレ008の362で中断していた積分論に戻ることにする。
ただし、戻ると言っても必要になれば位相線形空間論に戻る。
即ち、積分論と位相線形空間論の間を自由に行き来する。
662(8): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 01:50:48 AAS
定義
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
X から E への連続関数でコンパクトな台(過去スレ007の671)を
もつもの全体を K(X, E) と書く。
X の部分集合 A に対して
K(X, A, E) = { f ∈ K(X, E) | Supp(f) ⊂ A } と書く。
663(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 02:27:41 AAS
命題
X と Y を位相空間とする。
A と B を X の閉集合で X = A ∪ B とする。
f : X → Y を写像で f|A と f|B はそれぞれ連続とする。
このとき f は連続である。
証明
C を Y の任意の閉集合とする。
f^(-1)(C) ∩ A と f^(-1)(C) ∩ B は X の閉集合である。
よって f^(-1)(C) = (f^(-1)(C) ∩ A) ∪ (f^(-1)(C) ∩ B) も
X の閉集合である。
即ち f は連続である。
証明終
664(6): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 02:35:38 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
K を X のコンパクト集合とする。
L を K の境界とする。
即ち L = K - int(K) である。
ここで int(K) は K の内部である。
K(X, K, E) (>>662) は { f ∈ C(K, E) | f(L) = 0 } と自然に同一視される。
ここで C(K, E) は X から E への連続写像全体である。
証明
S = { f ∈ C(K, E) | f(L) = 0 } とおく。
f ∈ K(X, K, E) に f の K への制限 f|K ∈ C(K, E) を対応させる写像を
Φ とする。
Φ(f) = 0 なら f = 0 であるから Φ は単射である。
f ∈ K(X, K, E) なら { x ∈ X | f(x) ≠ 0 } は K に含まれる X の開集合
だから f(L) = 0 である。
即ち、Φ(f) ∈ S である。
逆に g ∈ S とする。
X から K への写像 f を x ∈ X - K のとき f(x) = 0
x ∈ X - K のとき f(x) = g(x) で定義する。
X - int(K) も K も X の閉集合であり、
f は X - int(K) で 0 であり、f|K は連続だから >>663 より
f は連続である。
よって f ∈ K(X, K, E) である。
即ち Φ は K(X, K, E) から S への全単射である。
証明終
665: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 03:26:31 AAS
>>25 の証明は E が分離的でないと間違いである。
よって次のように修正する。
666(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 03:28:10 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の分離位相線形空間とする。
K を X のコンパクト集合とする。
L を K の境界とする。
即ち L = K - int(K) である。
ここで int(K) は K の内部である。
>>664 より K(X, K, E) を { f ∈ C(K, E) | f(L) = 0 } と同一視する。
C(K, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与えると
K(X, K, E) は C(K, E) で閉である。
証明
x ∈ K に対して C(K, E) の元 f に f(x) ∈ E を対応させる写像は
連続である。
E は分離的だから {0} は閉集合である。
従って T(x) = { f ∈ C(K, E) | f(x) = 0 } は閉である。
よって、K(X, K, E) = ∩{T(x) | x ∈ L } は閉である。
証明終
667(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 04:15:31 AAS
命題
X をコンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の Frechet 空間(>>2) とする。
C(X, E) を X から E への連続写像全体である。
C(X, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与えると
C(X, E) は Frechet 空間である。
証明
過去スレ008の553とその複素数体への拡張(>>20)より
E の位相は可算個の半ノルムの集合により定義される。
p_n, n = 1,2, ... を E の位相を定義する半ノルムの列とする。
f ∈ C(X, E) に対して
q_n(f) = sup{ p_n(f(x)) | x ∈ X }
とおく。
X はコンパクトだから q_n(f) は有限である。
明らかに q_n は C(X, E) の半ノルムである。
C(X, E) の位相は q_n, n = 1,2, ... で定義される。
E は分離的だから 過去スレ007の159より C(X, E) は分離的である。
過去スレ008の553とその複素数体への拡張(>>20)より
C(X, E) は距離付け可能である。
E は完備だから過去スレ007の167より C(X, E) は完備である。
よって C(X, E) は Frechet 空間である。
証明終
668(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 04:39:16 AAS
命題
X をコンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の Banach 空間(過去スレ008の550) とする。
C(X, E) を X から E への連続写像全体である。
|f| = sup{ |f(x)| | x ∈ X } は C(X, E) のノルムであり、
このノルムにより C(X, E) は Banach 空間となる。
このとき C(X, E) の位相は一様収束の位相(過去スレ007の150)である。
証明
X はコンパクトだから f ∈ C(X, E) のとき
sup{ |f(x)| | x ∈ X } は有限である。
よって |f| = sup{ |f(x)| | x ∈ X } は C(X, E) の半ノルムである。
E はノルム空間だから |f| = 0 なら f = 0 である。
よって |f| はノルムである。
このノルムによる位相は C(X, E) の位相は一様収束の位相である。
E は完備だから過去スレ007の167より C(X, E) は完備である。
よって C(X, E) は Banach 空間である。
証明終
669: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 05:15:47 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の Frechet 空間(>>2)とする。
K を X のコンパクト集合とする。
K(X, K, E) (>>662) は一様収束の位相(過去スレ007の150)で
Frechet 空間である。
証明
C(K, E) を K から E への連続写像全体とする。
>>667 より C(K, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与えると
C(K, E) は Frechet 空間である。
>>666 より K(X, K, E) は C(K, E) で閉である。
よって K(X, K, E) は完備であるから Frechet 空間である。
証明終
670: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 05:57:36 AAS
命題
X をコンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の Banach 空間(過去スレ008の550) とする。
K を X のコンパクト集合とする。
|f| = sup{ |f(x)| | x ∈ X } は K(X, K, E) (>>662) のノルムであり、
K(X, K, E) はこのノルムで Banach 空間となる。
のとき K(X, K, E) の位相は一様収束の位相(過去スレ007の150)である。
証明
C(K, E) を K から E への連続写像全体とする。
>>668 より |f| = sup{ |f(x)| | x ∈ X } は C(K, E) のノルムであり、
このノルムにより C(X, E) は Banach 空間となる。
このとき C(X, E) の位相は一様収束の位相(過去スレ007の150)である。
>>666 より K(X, K, E) は C(K, E) で閉である。
よって K(X, K, E) は完備であるから Banach 空間である。
証明終
671: 2008/03/30(日) 07:58:05 AAS
Kummer ◆g2BU0D6YN2
目障りなんだよ
サゲで書けよ
672(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/31(月) 01:59:39 AAS
>>667 の前に次の命題を述べたほうが良かった。
命題
X をコンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の局所凸空間とする。
C(X, E) を X から E への連続写像全体とする。
C(X, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与えると
C(X, E) は局所凸空間である。
証明
過去スレ008の519およびそれを複素数体上に拡張した結果(>>20)から
E の位相は半ノルムの集合 Γ により定義される(過去スレ008の469)。
p ∈ Γ と f ∈ C(X, E) に対して
φ(p)(f) = sup{ p(f(x)) | x ∈ X } とおく。
p は連続であるから pf も連続である。
X はコンパクトだから φ(p)(f) は有限である。
明らかに φ(p) は C(X, E) の半ノルムである。
p ∈ Γ と ε ＞ 0 に対して
W(p, ε) = { x ∈ E | p(x) ≦ ε } とおく。
{ f ∈ C(X, E) | φ(p)(f) ≦ ε }
= { f ∈ C(X, E) | p(f(x)) ≦ ε, 任意の x ∈ X }
= { f ∈ C(X, E) | f(X) ⊂ W(p, ε) }
これから C(X, E) の位相は { φ(p) | p ∈ Γ } で定義される。
証明終
673: 2008/03/31(月) 02:07:59 AAS
このスレ全削除されたら、
こいつどういう反応するのかなあ
674: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/31(月) 02:08:00 AAS
訂正
>>664
>ここで C(K, E) は X から E への連続写像全体である。
ここで C(K, E) は K から E への連続写像全体である。
675: 2008/03/31(月) 21:09:31 AAS
i
676: 2008/04/02(水) 16:13:48 AAS
j
677(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/02(水) 22:10:50 AAS
命題
A を可換とは限らない環とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とする。
E を A-加群とする。
(E_i), i ∈ I を E の A-部分加群の族で
E = ∪{ E_i | i ∈ I }
i ≦ j のとき常に E_i ⊂ E_j となるものとする。
(E_i) と標準単射 E_i → E_j は帰納系(過去スレ008の578)である。
f_i: E_i → E を標準単射とする。
このとき E = ind.lim E_i (過去スレ008の578)である。
証明
帰納系 (E_i) から A-加群 F への射(過去スレ008の578) (g_i) が
あるとする。
E = ∪{ E_i | i ∈ I } であるから x ∈ E のとき x ∈ E_i となる
i がある。このとき g(x) = g_i(x) と定義する。
x ∈ E_j なら i ≦ k, j ≦ k となる k がある。
g_i(x) = g_k(x), g_j(x) = g_k(x) だから g_i(x) = g_j(x) である。
よって g(x) は x ∈ E_i となる i の取り方によらない。
明らかに g: E → F は A-加群としての射である。
g の定義より、各 i で g_i = g(f_i) である。
h: E → F を A-加群としての射とし、各 i で g_i = h(f_i) とする。
x ∈ E_i のとき h(x) = g_i(x) である。
よって g = h である。
以上から E = ind.lim E_i である。
証明終
678: 2008/04/04(金) 08:56:16 AAS
k
679: 2008/04/05(土) 06:54:31 AAS
Neukirch, Winberg, Schmidt no Hon kaEeeeeee~~~~~
680(5): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/05(土) 21:13:43 AAS
定義
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とする。
(E_i), i ∈ I を E の部分線形空間の族で
E = ∪{ E_i | i ∈ I }
i ≦ j のとき常に E_i ⊂ E_j となるものとする。
各 E_i は局所凸空間であり、標準単射 E_i → E_j は連続とする。
f_i : E_i → E を標準射とする。
>>677 より E = ind.lim E_i である。
従って、E に (E_i) と (f_i) で定まる局所凸な終位相(過去スレ008の574)を
入れたものは局所凸空間 (E_i) の帰納的極限(過去スレ008の591)である。
この位相を局所凸空間 (E_i) の位相の帰納的極限と言う。
681(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/05(土) 21:28:23 AAS
定義
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とする。
(E_i), i ∈ I を E の部分線形空間の族で
E = ∪{ E_i | i ∈ I }
i ≦ j のとき常に E_i ⊂ E_j となるものとする。
各 E_i は局所凸空間であり、i ≦ j のとき E_i の位相は E_j の部分空間
としての位相と一致するとする。
このとき局所凸空間 E_i の位相の帰納的極限(>>680)を
局所凸空間 E_i の位相の狭義帰納的極限(strict inductive limit)と
言う。
E にこの位相をいれたものを (E_i) の狭義帰納的極限と言う。
682: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/05(土) 21:41:49 AAS
>>680
>この位相を局所凸空間 (E_i) の位相の帰納的極限と言う。
この位相を局所凸空間 E_i の位相の帰納的極限と言う。
683: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/05(土) 22:26:14 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とする。
(E_i), i ∈ I を E の部分線形空間の族で
E = ∪{ E_i | i ∈ I }
i ≦ j のとき常に E_i ⊂ E_j となるものとする。
各 E_i は局所凸空間であり、標準単射 E_i → E_j は連続とする。
f_i : E_i → E を標準射とする。
E の位相として局所凸空間 E_i の位相の帰納的極限(>>680)をとる。
各 i ∈ I に対して V_i を E_i の 0 の平衡的な近傍とする。
∪{ V_i | i ∈ I } の凸包を Γ((V_i)) と書く。
Γ((V_i)) の全体は E の 0 の基本近傍系となる。
証明
各 i ∈ I に対して V_i を E_i の 0 の平衡的な近傍とする。
Γ((V_i)) は凸かつ平衡的である。
x を E の任意の元とする。
E = ∪{ E_i | i ∈ I } だから x ∈ E_i となる i ∈ I がある。
V_i は E_i の 0 の近傍だから E_i において吸収的である。
よって x ∈ α(V_i) となる α ∈ K がある。
よって Γ((V_i)) は E において吸収的である。
V_i ⊂ Γ((V_i)) ∩ E_i であるから Γ((V_i)) ∩ E_i は E_i の 0 の
近傍である。
E の位相の定義から Γ((V_i)) は E の 0 の近傍である。
他方 V を E の 0 の近傍で凸かつ平衡的なものとする。
V_i = V ∩ E_i は E_i の平衡的な近傍である。
V は凸だから V ⊃ Γ((V_i)) である。
証明終
684(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 11:14:33 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
K を X のコンパクト集合とする。
L を K の境界とする。
即ち L = K - int(K) である。
ここで int(K) は K の内部である。
S = { f ∈ C(K, E) | f(L) = 0 } とおく。
C(X, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与え、
K(X, K, E) にはその部分位相を与える。
同様に、C(K, E) に一様収束の位相を与え、
S にはその部分位相を与える。
f ∈ K(X, K, E) に f の K への制限 f|K ∈ C(K, E) を対応させる写像を
Φ とする。
Φ は位相同型である。
証明
>>664 より Φ は全単射である。
V を E の任意の近傍とする。
f ∈ K(X, K, E) のとき、f(X) ⊂ V であることと
Φ(f)(K) ⊂ V であることは同値である。
よって Φ は位相同型である。
証明終
685(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 11:36:51 AAS
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の局所凸空間とする。
X のコンパクト集合 K に K(X, K, E) (>>662) を対応させる。
C(X, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与え、
K(X, K, E) にはその部分位相を与える。
>>672 と >>684 より K(X, K, E) は局所凸空間である。
K と L が X のコンパクト集合で K ⊂ L のときは
K(X, K, E) の位相は K(X, L, E) の位相の部分位相である。
明らかに K(X, E) は K(X, K, E) 全体の和集合である。
従って K(X, E) (>>662) に K(X, L, E) の位相の狭義帰納的極限(>>681)
を与えることが出来る。
今後特に断らない限り K(X, E) にはこの位相を入れることにする。
686: 2008/04/06(日) 16:24:53 AAS
l
687(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 16:34:30 AAS
命題
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
E の任意の全有界(過去スレ006の302)な部分集合は有界(>>35)である。
証明
A を E の全有界な部分集合とする。
V を E の 0 の任意の近傍とする。
過去スレ006の635より 0 の平衡的な近傍 W で W + W ⊂ V となるものが
存在する。
E の有限個の点 a_1, ... , a_n があり、
A ⊂ ∪{ a_i + V | i = 1, ... , n } となる。
W は吸収的だから各 a_i に対して λ_i ＞ 0 があり、
a_i ∈ λ_iV となる。
W は平衡的だから λ_i ≦ μ なら λ_iV ⊂ μV である。
従って各 λ_i ＞ 1 と仮定してよい。
λ = max{λ_i | i = 1, ... , n} とする。
各 a_i に対して a_i ∈ λW となる。
B = {a_1, ... , a_n} とおく。
(1/λ)B ⊂ W である。
A ⊂ B + W であるから
(1/λ)A ⊂ (1/λ)B + (1/λ)W ⊂ W + W ⊂ V
よって A は有界である。
証明終
688: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 16:43:41 AAS
>>687はBourbakiのEspaces Vectoriels Topologiques(1981)の
III,§1,No 2 の命題２である。
しかし、そこではEを局所凸空間と仮定している。
この仮定は>>687の証明からわかるように不要である。
689: 空しき人生 2008/04/06(日) 16:57:29 AA×
690: 2008/04/06(日) 16:58:49 AAS
ここは間違って立ってしまったスレッドなので
ここでは質問しないように。
質問は本スレで。
【sin】高校生のための数学質問スレPART175【cos】
2chｽﾚ:math
また間違えてここに書き込んでしまって、
本スレに改めて書き込んだ問題に関しては対応してあげましょう。
(本当はマルチになりますが、この場合は多めに見てあげてください。
解答者の皆さん、お願します。)
691: 上 2008/04/06(日) 17:07:13 AAS
公共性ゼロの掲示板にふさわしくない書き込みだな
692(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 17:08:56 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
K(X, E) (>>662) に一様収束の位相(過去スレ007の149)を入れると
K(X, E) は位相線形空間となる。
さらに E が局所凸なら K(X, E) も局所凸である。
証明
f ∈ K(X, E) とする。
K = Supp(f) とする。
f(X) = f(K) ∪ {0} は準コンパクトである。
過去スレ006の313より f(X) は全有界である。
>>687より f(X) は有界である。
>>49より K(X, E) 一様収束の位相で位相線形空間となる。
同じく >>49より E が局所凸なら K(X, E) も局所凸である。
証明終
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