代数的整数論 009

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509: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 05:37:56 AAS
>>508 は Y に条件、例えば完備性を仮定するともっと強められる。

510(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 05:38:44 AAS
命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)であるとする。
X の任意の点 x に対して H(x) は Y の完備な部分集合に含まれる
とする（特に Y が完備ならこの条件は満たされる）。
Φ を H のフィルター(過去スレ006の75)とする。
M ⊂ F(X, Y) と x ∈ X に対して M(x) = { f(x) | f ∈ M } と書く。
Φ(x) = { M(x) | M ∈ Φ } とおく。
Φ(x) は Y のフィルター基底(過去スレ006の77)である。
D を X の稠密な部分集合とする。
D の任意の点 x において Φ(x) が f_0(x) に収束するとする。
ここで f_0 は D から Y への写像である。
このとき f_0 は f ∈ C(X, Y) に拡張され、
Φ は f にコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で収束する。

証明
仮定より Φ は D における単純収束の一様構造(過去スレ007の161)で
Cauchy フィルターである。
>>334 より Φ は単純収束の一様構造(過去スレ007の154)で
Cauchy フィルターである。
即ち X の任意の点 x に対して Φ(x) は Y のCauchy フィルターである。
仮定より X の任意の点 x に対して H(x) は Y の完備な部分集合に
含まれるから Φ(x) は Y の点に収束する。
よって、f_0 の拡張 f ∈ F(X, Y) で Φ(x) は f(x) に収束
するようなものがある（Y が分離でないときは選択公理による）。
即ち、Φ は単純収束の位相で、f に収束する。
>>508 より f ∈ C(X, Y) で Φ は f にコンパクト収束の位相
(過去スレ007の168)で収束する。
証明終

511: 2008/02/23(土) 07:11:35 AAS
257 名前：１３２人目の素数さん：2008/02/23(土) 02:45:58
テーマ：量子コンピュータ
　　　　～20年後の頭脳～
　ゲスト講師：東大院生　下野寿之（しものとしゆき）氏
ゲストプロフィール（当時）
　山口県出身。幼少期より理数系を”学問”してきた秀才。小学生の時には、すでに父の大学の教科書で学び
ラサール高校時代には、数学・物理は常にトップクラスの成績。また、現役高校生日本代表として、
国際数学オリンピックに参加し、銅メダル獲得。その後、京都大学理学部数学科に進学し、３年間で飛び級卒業
（正確には、単位取得満了退学）。
　現在、東京大学大学院情報理工学研究科コンピュータ科学専攻博士課程にて、
２０年後
の頭脳・量子コンピュータの理論構築・開発研究に取り組み中。
外部ﾘﾝｸ[html]:www.idea.to

512: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 08:40:08 AAS
訂正
>>508
>>>334 より H~ において単純収束の位相とコンパクト収束の位相は
>一致する。

>>350 より H~ において単純収束の位相とコンパクト収束の位相は
>一致する。

513: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 08:46:55 AAS
Ascoliの定理(>>494)を解析学に応用するには相対コンパクトな関数の
集合を関数列で特徴付けたほうが使いやすい。
これについて述べる。

514: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 08:53:06 AAS
訂正
>>510
>即ち X の任意の点 x に対して Φ(x) は Y のCauchy フィルターである。

即ち X の任意の点 x に対して Φ(x) は Y のCauchy フィルター基底である。

515(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 08:53:36 AAS
定義
X を位相空間とし、(a_n) を X の点列とする。
A_n = { a_m | m ≧ n } とおけば、Φ = {A_n} はフィルター基底
(過去スレ006の77)である。
Φ の接触点(過去スレ006の132)を点列 (a_n) の接触点と言う。

516: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 08:56:58 AAS
命題
X を位相空間とし、(a_n), n ≧ 1 を X の点列とする。
(a_n) の部分点列 (a_n_i), i ≧ 1 の極限点は (a_n) の接触点である。

証明
明らかである。

517(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 09:14:58 AAS
命題
X を位相空間とし、(a_n), n ≧ 1 を X の点列とする。
X の各点が可算な基本近傍系をもつとする。
このとき、(a_n) の接触点(>>515)は (a_n) のある部分点列の
極限点である。

証明
x を (a_n) の接触点とする。
A_n = { a_m | m ≧ n } とおく。
V_1 ⊃ V_2 ⊃ . . . を x の基本近傍系とする。
V_1 ∩ A_1 ≠ φ だから a_n_1 ∈ V_1 ∩ A_1 とする。
k ＞ n_1 のとき V_2 ∩ A_k ≠ φ だから
a_n_2 ∈ V_2 ∩ A_k とする。
n_2 ＞ n_1 である。
以下同様にして点列 (a_n_m) を作る。
m ＞ k のとき n_m ＞ n_k である。
よって (a_n_m) は (a_n) の部分点列である。
a_n_m ∈ V_m であるから (a_n_m) は x に収束する。
証明終

518(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 09:40:52 AAS
命題
X を一様空間(過去スレ006の194)とする。
X の任意の点列 (a_n), n ≧ 1 は収束する部分点列をもつとする。
このとき X は全有界(過去スレ006の302)である。

証明
X が全有界でないとして矛盾を導く。
X のある近縁 V があり、X は V 程度に小さい集合(過去スレ006の235)
からなる有限被覆をもたない。
W^2 ⊂ V となる対称(過去スレ006の202)な近縁 W をとる。
X の点 x に対して W(x) = { y ∈ X | (x, y) ∈ W } とおく。
W(x) は V 程度に小さい。

X の任意の点を a_1 とする。
X ≠ W(a_1) だから a_2 ∈ X - W(a_1) がある。
X ≠ W(a_1) ∪ W(a_2) だから
a_3 ∈ X - (W(a_1) ∪ W(a_2)) がある。
以下同様に点列 (a_n) を作る。
k ＜ n のとき (a_k, a_n) ∈ W とはならない。

(a_n) が収束する部分点列 (a_n_k) を持つとする。
x をその極限点とする。
x の近傍 W(x) には高々１個の a_n しか含まないから
これは矛盾である。
証明終

519(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 10:05:27 AAS
定理(Heine-Borel-Lesbesgue)
X を可算な基本近縁系を持つ一様空間(過去スレ006の194)とする。
X が準コンパクトであるためには X の任意の点列が接触点(>>515)を
持つことが必要十分である。

証明
>>398より条件は必要である。
条件が十分なことを証明する。
X の任意の点列が接触点を持つとする。
特に、X の任意の Cauchy 列が接触点を持つ。
Cauchy 列の接触点は極限点である(過去スレ006の248)。
よって X は完備である(過去スレ006の325)。

>>517 より X の任意の点列 (a_n), n ≧ 1 は収束する部分点列を持つ。
>>518 より X は全有界である。

以上から X は完備かつ全有界である。
過去スレ006の316より X は準コンパクトである。
証明終

520: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 10:56:28 AAS
Ascoliの定理(>>494)において X が稠密な可算部分集合を持ち、
Y が可算な基本近縁系を持つと仮定するとTychonoffの定理(>>432)を
使わない伝統的な証明が得られる。

521(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 11:08:15 AAS
補題
X を位相空間、Y を分離一様空間とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
(f_n), n ≧ 1 を F(X, Y) の要素からなる関数列とする。
H = { f_n | n = 1, 2, . . . } とおく。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
D = {a_1, a_2, . . . } を X の可算部分集合とする。

このとき (f_n) の部分列 (f_n_k), k ≧ 1 で D の各点で収束するものが
存在する。

証明
Y の点列 f_1(a_1), f_2(a_1), . . . は相対コンパクトであるから
>>519 と>>517より収束する部分列 (f_1_n(a_1)), n ≧ 1 を持つ。
f_1_1(a_2), f_1_2(a_2), . . . は相対コンパクトであるから
(f_1_n(a_2)) は収束する部分列 (f_2_n(a_2)), n ≧ 1 を持つ。
以下同様にして収束する部分列 (f_m_n(a_m)), n ≧ 1 を選ぶ。
このとき、対角列 (f_n_n), n ≧ 1 は (f_n) の部分列であり、
D の各点で収束する。
証明終

522(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 11:25:07 AAS
>>521 を訂正する。

補題
X を位相空間、Y を可算な基本近縁系を持つ分離一様空間とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
(f_n), n ≧ 1 を F(X, Y) の要素からなる関数列とする。
H = { f_n | n = 1, 2, . . . } とおく。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
D = {a_1, a_2, . . . } を X の可算部分集合とする。

このとき (f_n) の部分列 (f_n_k), k ≧ 1 で D の各点で収束するものが
存在する。

証明
Y の点列 f_1(a_1), f_2(a_1), . . . は相対コンパクトであるから
>>519 と>>517より収束する部分列 (f_1_n(a_1)), n ≧ 1 を持つ。
f_1_1(a_2), f_1_2(a_2), . . . は相対コンパクトであるから
(f_1_n(a_2)) は収束する部分列 (f_2_n(a_2)), n ≧ 1 を持つ。
以下同様にして収束する部分列 (f_m_n(a_m)), n ≧ 1 を選ぶ。
このとき、対角列 (f_n_n), n ≧ 1 は (f_n) の部分列であり、
D の各点で収束する。
証明終

523(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 11:28:42 AAS
命題(>>494の弱形の別証)
X を稠密な可算部分集合 D を持つ位相空間、Y を可算な基本近縁系を持つ
分離一様空間とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を C(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
(f_n), n ≧ 1 を H の要素からなる関数列とする。
このとき (f_n) はコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で
C(X, Y) の元に収束する部分列を持つ。

証明
>>521 より (f_n) の部分列 (f_n_k), k ≧ 1 で D の各点で収束するものが
存在する。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } は Y で相対コンパクト
であるから Y においてな部分集合に含まれる。
>>510 より (f_n_k), k ≧ 1 はコンパクト収束の位相で
C(X, Y) の元に収束する。
証明終

524: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 11:30:29 AAS
訂正
>>523
>>>521 より (f_n) の部分列 (f_n_k), k ≧ 1 で D の各点で収束するものが
>存在する。

>>522 より (f_n) の部分列 (f_n_k), k ≧ 1 で D の各点で収束するものが
存在する。

525: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 13:22:06 AAS
命題(>>523の言い換え)
X を稠密な可算部分集合 D を持つ位相空間、Y を可算な基本近縁系を持つ
分離一様空間とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を C(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
このとき H はコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で
C(X, Y) において相対コンパクトである。

証明
V_1 ⊃ V_2 ⊃ . . . を Y の基本近縁系とする。
F(X, Y) に D における単純収束の一様構造(過去スレ007の161)を
入れたものは、F を D の有限部分集合として
W(F, V_n) =
{(f, g) ∈ F(X,Y)×F(X,Y) | 任意の x ∈ F に対して (f(x),g(x)) ∈ V_n}
の形の近縁を基本近縁系にもつ。
D は可算だからその有限部分集合全体も可算である。
よって、D における単純収束の一様構造により F(X, Y) は
可算な基本近縁系を持つ。
>>327より F(X, Y) における単純収束の位相(過去スレ007の154)による
H の閉包 H~ は同程度一様連続である。
>>350より H~ の上でコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)と
D での単純収束の一様構造は一致する。
よって、上で述べたことにより H~ におけるコンパクト収束の一様構造
は可算な基本近縁系を持つ。

>>523より (f_n), n ≧ 1 を H~ の要素からなる関数列は、
コンパクト収束の位相で C(X, Y) の元、従って H~ の元に収束する
部分列を持つ。>>519より H~ は準コンパクトである。
Y は分離だから H~ も分離であり、H~ はコンパクトである。
証明終

526: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 15:50:15 AAS
位相線形空間の話に戻る。
Banach-Steinhaus の定理（後述）を証明する前に弱位相と極集合について述べる。

527(15): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 16:01:16 AAS
定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E×F 上の双線形形式 B(x, y) が与えられたとき
E と F は（B に関して）対をなすという。

528(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 16:09:14 AAS
定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。

E の元 x に F の双対空間 F^* の元 y → B(x, y) を対応させる
写像が単射のとき、対 (E, F) は E に関して分離的であると言う。

F の元 y に E の双対空間 E^* の元 x → B(x, y) を対応させる
写像が単射のとき、対 (E, F) は F に関して分離的であると言う。

対 (E, F) が E と F それぞれに関して分離的なとき、
対 (E, F) は分離的であるという。

529(9): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 16:17:03 AAS
定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。

y が F の元全体を動いたとき、写像を x → B(x, y) を連続にさせる
E の最も粗い位相を対 (E, F) に関する E の弱位相と言い、
σ(E, F) と書く。

530: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 16:22:59 AAS
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
誤解の恐れがないときは B(x, y) を <x, y> と書く。

531(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 16:51:36 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
E の弱位相(>>529) σ(E, F) により E は局所凸な位相線形空間になる。

証明
y ∈ F に対して p_y(x) = |<x, y>| は E の半ノルム(過去スレ007の458)
である。
σ(E, F) は半ノルムの集合 { p_y | y ∈ F } で定義される
(過去スレ007の469)。
過去スレ007の518より E は局所凸な位相線形空間である。
証明終

532: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 17:03:38 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
E の弱位相(>>529) σ(E, F) が分離的であるためには、
対 (E, F) が E に関して分離的(>>528)であることが必要十分である。

証明
y ∈ F に対して p_y(x) = |<x, y>| は E の半ノルム(過去スレ007の458)
である。
過去スレ007の535より、
σ(E, F) に関する 0 の閉包
{0}~ = { x ∈ E | すべての y ∈ F に対して p_y(x) = 0 } である。
よって、
{0}~ = { x ∈ E | すべての y ∈ F に対して <x, y> = 0 } である。
これから本命題の主張が得られる。
証明終

533: 2008/02/24(日) 01:01:25 AAS
a

534(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 07:07:16 AAS
命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F を K 上の位相線形空間とする。
H を E から F への線形写像の集合とする。
H が同程度連続(>>315)であるためには H が 0 で同程度連続であることが
十分である。

証明
H が 0 で同程度連続であるとする。
F の 0 の任意の近傍 V に対して E の 0 の近傍 W があり、
f(W) ⊂ V が任意の f ∈ H に対して成り立つ。

a を E の任意の点とする。
x - a ∈ W なら f(x - a) = f(x) - f(a) ∈ V が任意の
f ∈ H に対して成り立つ。
これは H が a で同程度連続であることを意味する。
証明終

535: 2008/02/24(日) 07:30:49 AAS
b

536: 亡国 2008/02/24(日) 07:49:07 AAS
マルハン王国の闇したらばｽﾚ:game_1733
多店舗で展開する場合は方法に問題がある。各店舗ごとに用意すればいいかもしれないが、それだけ秘密の漏洩になる。
そこで考え出されたのは、ネットワークによる集中管理である。ネットワークであればその制御装置本体の
設置場所をホール内である必要もなくなる。

「マルハンの店頭公開利益を見込み、第三国経由で資金調達をする。」その役目を買って出たのが先のメンバーである。
新韓銀行と新韓生命保険が伊藤忠との三角取引でマルハンへ迂回するというもの。中国も関わっているらしいが
詳細は不明なままである。金額は具体的に知らされていた。１回目が８００億円、２回目が５～６００億円というものであった。

◎ハンの今後の目標は売り上げ５兆円、500店舗、上場すること。

新スレ→○○○マルハンパチンコタワー渋谷パート１０○○○
★★★★★このスレの解説★★★★★を読んでみるとよく判る。
2chｽﾚ:pachij←くっけて→1304777/559

537(4): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 08:01:21 AAS
命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F を K 上の位相線形空間とする。
E と F の位相はそれぞれ半ノルムの集合Γと Γ' により定義される
(過去スレ008の469)とする。
H を E から F への線形写像の集合とする。

H が同程度連続(>>315)であるためには次が成り立つことが必要十分である。

任意の q ∈ Γ' に対して p_i ∈ Γ, i = 1, . . . , n と
a ＞ 0 があり、任意の x と任意の f ∈ H に対して
q(f(x)) ≦ a sup{ p_i(x) | i = 1, . . ., n }
となる。

証明
条件が成り立てば H は 0 で同程度連続であるから >>534 より
H は同程度連続である。

条件が必要なことを示す。
H は同程度連続であるから、任意の q ∈ Γ' と β ＞ 0 に対して
p_i ∈ Γ, i = 1, . . . , n と α ＞ 0 があり、
sup{p_i(x) | i = 1, ..., n} ≦ α なら
任意の f ∈ H に対して q(f(x)) ≦ β となる。

p(x) = sup{p_i(x) | i = 1, ..., n} とおく。

（続く）

538: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 08:01:44 AAS
>>537 の続き。

| | は K の自明でない絶対値だから、
α = |λ| ＜ 1 となる λ ∈ K があると仮定してよい。

m を整数として、p(x) ≦ |λ|^(m+1) なら p(λ^(-m)x) ≦ |λ|
q(f(λ^(-m)x)) ≦ β
q(f(x)) ≦ β|λ|^m

p(x) = 0 なら m はいくらでも大きく出来るから |λ|^m はいくらでも
0 に近づく。よって、q(f(x)) = 0 である。

p(x) ≠ 0 なら
|λ|^(m+2) ＜ p(x) ≦ |λ|^(m+1) となる整数 m がある。
|λ|^m ＜ p(x)|λ|^(-2)
よって、q(f(x)) ≦ β|λ|^m ＜ β|λ|^(-2)p(x)
a = β|λ|^(-2) とおけばよい。
証明終

539: 2008/02/24(日) 08:03:59 AAS
c

540(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 08:19:22 AAS
命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F を K 上の位相線形空間とする。
E と F の位相はそれぞれ半ノルムの集合Γと Γ' により定義される
(過去スレ008の469)とする。
H を E から F への線形写像の集合とする。

以下の条件はすべて同値である。

(1) H は同程度連続(>>315)である。

(2)
任意の q ∈ Γ' に対して p_i ∈ Γ, i = 1, . . . , n と
a ＞ 0 があり、任意の x と任意の f ∈ H に対して
q(f(x)) ≦ a sup{ p_i(x) | i = 1, . . ., n }
となる。

(3) 任意の q ∈ Γ' に対して E の 0 の近傍 W があり、
関数の集合 { qf | f ∈ H } は W において一様に有界である。
即ち β ＞ 0 があり任意の x ∈ W と任意の f ∈ H に対して
q(f(x)) ≦ β となる。

(4) sup {qf | f ∈ H } は連続な半ノルムである。

証明
(1) と (2) の同値は >>537 で証明されている。
(2) ⇒ (3) は明らかである。
(3) ⇒ (2) は >>537 の証明から分かる。
(2) ⇒ (4) は明らかである。
(4) ⇒ (3) は明らかである。
証明終

541: 2008/02/24(日) 08:30:15 AAS
d

542(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 10:58:59 AAS
命題
K を可換とは限らない体とする。
E を K 上の左線形空間とする。
E^* = Hom(E, K) を E の双対空間とする。
E^* は K 上の右線形空間である。
x ∈ E, f ∈ E^* のとき f(x) を <x, f> で表す。
N を E の部分空間とする。
N' を N の直交補空間、つまり
N' = { f ∈ E^* | 任意の x ∈ N に対して <x, f> = 0 } とする。

N' は E/N の双対 (E/N)^* に標準的に同型である。

証明
f ∈ N' は E/N の線形形式 f' を引き起こす。
これは明らかに同型である。
証明終

543(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 11:13:49 AAS
命題
K を可換とは限らない体とする。
E を K 上の左線形空間とする。
E^* = Hom(E, K) を E の双対空間とする。
E^* は K 上の右線形空間である。
x ∈ E, f ∈ E^* のとき f(x) を <x, f> で表す。
N を E の部分空間とする。
N' を N の直交補空間、つまり
N' = { f ∈ E^* | 任意の x ∈ N に対して <x, f> = 0 } とする。
N' が有限次元なら E/N も有限次元であり、
dim N' = dim E/N である。

証明
>>542 より N' は E/N の双対 (E/N)^* に標準的に同型である。
よって dim N' = dim (E/N)^* である。
よって (E/N)^* は有限次元である。
よって (E/N)^* の双対 (E/N)^** も有限次元である。
一方、標準単射 E/N → (E/N)^** がある。
(E/N)^** は有限次元だから E/N は有限次元である。
よって dim (E/N)^* = dim E/N である。
証明終

544(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 11:27:18 AAS
命題
K を可換とは限らない体とする。
E を K 上の左線形空間とする。
E^* = Hom(E, K) を E の双対空間とする。
E^* は K 上の右線形空間である。
x ∈ E, f ∈ E^* のとき f(x) を <x, f> で表す。
M' を E^* の有限次元の部分空間とする。
N を M' の直交補空間、つまり
N = { x ∈ E | 任意の f ∈ M' に対して <x, f> = 0 } とする。
N' を N の直交補空間、つまり
N' = { f ∈ E^* | 任意の x ∈ N に対して <x, f> = 0 } とする。

このとき、M' = N' である。

証明
x ∈ E に対して ψ_x ∈ (M')^* を ψ_x(f) = <x, f> により定義する。
x に ψ_x を対応させる写像の核は N である。
よって dim E/N ≦ dim M' である。
一方、>>543 より dim N' = dim E/N である。
よって、dim N' ≦ dim M' である。
M' ⊂ N' であるから M' = N' である。
証明終

545(5): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 11:51:13 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
σ(E, F) (>>529) に関して連続な E の任意の線形形式は
x → <x, y y ∈ F の形に書ける。
対 (E, F) が F に関して分離的なら y は一意に決まる。

証明
f を σ(E, F) に関して連続な E の線形形式とする。
>>537 より a ＞ 0 と F の元 y_i, i = 1, . . ., n があり、
任意の x ∈ E に対して、
|f(x)| ≦ a sup{ |<x, y_i>| | i = 1, . . ., n } となる。

<x, y_i> = 0, i = 1, . . ., n なら f(x) = 0 である。
>>544 より f(x) = <x, y> と書ける。
ここで y は y_i, i = 1, . . ., n で生成される F の部分空間の
ある元である。
対 (E, F) が F に関して分離的なら y は一意に決まることは明らかである。
証明終

547: 2008/02/24(日) 12:44:59 AAS

548(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 13:01:35 AAS
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸位相線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
M を E' の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
>>11 より E の 0 の凸近傍で平衡的(過去スレ006の630)なもの V があり
任意の x ∈ V と任意の f ∈ M に対して |f(x)| ≦ 1 となる。
V は平衡的だから絶対値１の任意の複素数 ζ と
任意の x ∈ V と任意の f ∈ M に対して |f(ζx)| = |ζf(x)| ≦ 1
となる。
>>546 より、これは Re(f(x)) ≧ -1 と同値である。

549(4): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 13:10:02 AAS
>>548 から次の定義に導かれる。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の部分集合とする。
M゜= { y ∈ F | Re(<x, y>) ≧ -1 } を M の極集合と言う。

550: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 18:01:49 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の部分集合とする。
M_1 を M ∪ {0} の凸包(過去スレ008の431)とする。
このとき、(M_1)゜= M゜である。

証明
(M_1)゜⊂ M゜は明らかである。
y ∈ M゜とする。
{ x ∈ E | Re(<x, y>) ≧ -1 } は E の実半空間であるから凸であり、
M と {0} を含む。
従って M_1 を含む。
よって y ∈ (M_1)゜である。
証明終

551(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 18:16:21 AAS
命題
E と F を複素数体上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
E_0 と F_0 をそれぞれ E と F を実数体上の線形空間と
見なしたものとする。
E_0 と F_0 は Re(B) に関して対をなす。
このとき弱位相(>>529) σ(E, F) と σ(E_0, F_0) は一致する。

証明
z = a + bi を複素数としたとき Re(iz) = -b である。
よって z = Re(z) - iRe(iz)
よって、
<x, y> = Re(<x, y>) - iRe(i<x, y>) = Re(<x, y>) - iRe(<ix, y>)
よって x → <x, y> が連続なことと
x → Re(<x, y>) が連続なことは同値である。
証明終

552(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 18:31:29 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の部分集合とする。
M の極集合(>>549) M゜は 0 を含み凸であり弱位相(>>529)で閉である。

証明
M の任意の元 x に対して Re(x, 0) = 0 ≧ -1 であるから
0 ∈ M゜である。
y → Re(<x, y>) は弱位相 σ(F, E) で連続であるから、
M_x = { y ∈ F | Re(x, y) ≧ -1 } は F の実半空間で
σ(F, E) で閉である。
よって、M゜= ∩{ M_x | x ∈ M } は閉凸集合である。
証明終

553(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 19:44:55 AAS
補題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
H をσ(E, F) (>>529) に関して閉な E の超平面(>>130)で
0 を含まないとする。
このとき y ∈ F があり、H = { x ∈ E | <x, y> = -1 } となる。

証明
H は 0 を含まない E の超平面だから E の線形形式 f と a ∈ K, a ≠ 0
があり、H = { x ∈ E | f(x) = a } となる。
f を -(1/a)f で置き換えて a = -1 としてよい。
H は閉だから >>148 より f は連続である。
>>545 より f は x → <x, y y ∈ F の形に書ける。
よって、H = { x ∈ E | <x, y> = -1 } となる。
証明終

554(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 20:17:27 AAS
定理(双極定理)
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の部分集合とする。
M の極集合(>>549)の極集合 M゜゜は M ∪ {0} の凸包(過去スレ008の431)
の弱位相(>>529)に関する閉包である。

証明
明らかに M ∪ {0} ⊂ M゜゜である。
M ∪ {0} の凸包の弱位相に関する閉包を N とする。
>>552 より N ⊂ M゜゜である。
a を E の元で N に含まれないとする。
>>163 より a と N を強分離(>>151)する閉実超平面 H が存在する。
H は 0 を含まないから実双線形形式 Re(<x, y>) に >>553 を適用すると
y ∈ F があり、H = { x ∈ E | Re(<x, y>) = -1 } となる。
よって N ⊂ { x ∈ E | Re(<x, y>) ＞ -1 } となり、
Re(<a, y>) ＜ -1 となる。
よって、 y ∈ M゜であり、a は M゜゜に含まれない。
即ち N = M゜゜である。
証明終

555: 2008/02/24(日) 22:56:25 AAS
e

556: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 23:13:02 AAS
訂正
>>544
>一方、>>543 より dim N' = dim E/N である。

dim E/N ≦ dim M' だから dim E/N は有限である。
よって dim E/N = dim (E/N)^* である。
>>542 より N' は (E/N)^* に標準的に同型である。
よって、dim N' = dim E/N である。

557: 2008/02/25(月) 14:11:29 AAS
f

558: 2008/02/25(月) 21:18:34 AAS
g

559(6): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/02(日) 10:33:55 AAS
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E×E' 上の双線形形式 B(x, f) を B(x, f) = f(x) で定義することにより
E と E' は対(>>527)をなす。
今後、特に断らない限り E と E' の対はこの双線形形式 B に関するもの
とする。
対 (E, E') は位相線形空間論において主要な研究対象の一つである。

明らかに対 (E, E') は E' に関して分離的(>>528)である。
対 (E, E') が E に関して分離的であるための条件を調べる
そのためにHahn-Banachの定理(>>104)の系を用意する。

560(1): king氏ね [king氏ね] 2008/03/02(日) 10:58:19 AAS
king氏ね

561(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/02(日) 11:33:32 AAS
命題(Hahn-Banachの定理(>>104)の系)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
x_0 を E の点とし、 p を E 上の半ノルム(過去スレ008の458)とする。
このとき E 上の線形形式 f で
f(x_0) = p(x_0) となり任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ p(x) と
なるものが存在する。

証明
M = { λx_0 | λ ∈ K }を x_0 で生成される E の部分線形空間とする。
g(λx_0) = λp(x_0) により M 上の線形形式 g を定義する。
x = λx_0, λ ∈ K としたとき |g(x)| = |λ|p(x_0) = p(x)
Hahn-Banachの定理(>>104)より E 上の線形形式 f で g の拡張であり
任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ p(x) となるものがある。
f は g の拡張だから f(x_0) = g(x_0) = p(x_0) である。
証明終

562(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/02(日) 11:59:21 AAS
命題(Hahn-Banachの定理(>>104)の系)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸線形空間とする。
x_0 ∈ E - {0}~ とする。
ここで {0}~ は 0 の閉包である。
このとき E 上の連続な線形形式 f で f(x_0) ≠ 0 となるものが
存在する。

証明
過去スレ008の535より E 上の連続な半ノルム p で p(x_0) ≠ 0 と
なるものが存在する。
>>561 より E 上の線形形式 f で
f(x_0) = p(x_0) となり任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ p(x) と
なるものが存在する。
p は連続だから f も連続である。
証明終

563: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/02(日) 12:16:01 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な局所凸線形空間とする。

対 (E, E') (>>559) は E に関して分離的である。

証明
E は分離的だから {0} は閉集合である。
よって >>562 より E の元 x_0 ≠ 0 に対して E 上の連続な線形形式 f で
f(x_0) ≠ 0 となるものが存在する。
即ち、対 (E, E') は E に関して分離的である。
証明終

564: 1stVirtue ◆.NHnubyYck 2008/03/02(日) 16:30:52 AAS
Reply:>>560 お前に何がわかるというのか。

565(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/02(日) 17:30:08 AAS
命題
E を実数体上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E と E' は対をなす(>>559)。
A を E の凸な部分集合とする。
E の通常の位相で A が閉であることと E の弱位相 σ(E, E') (>>529) で
閉であることは同値である。

証明
>>545 より σ(E, E') に関して連続な E の線形形式全体は E' と一致する。
>>164 より本命題の主張が得られる。
証明終

566(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/02(日) 18:01:34 AAS
命題
E を複素数体上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E と E' は対をなす(>>559)。
A を E の凸な部分集合とする。
E の通常の位相で A が閉であることと E の弱位相 σ(E, E') (>>529) で
閉であることは同値である。

証明
E_0 と E'_0 をそれぞれ E と E' を実数体上の線形空間と
見なしたものとする。
E_0 と E'_0 は実双線形形式 (x, f) → Re(<x, f>) により対をなす。
>>551 より σ(E, E') と σ(E_0, E'_0) は一致する。

>>545 より σ(E_0, E'_0) に関して連続な E_0 の実線形形式 g に
対して f ∈ E' が存在し、任意の x ∈ E に対して g(x) = Re(<x, f>)
となる。従って、g は E_0 の通常の位相でも連続である。

逆に E_0 の通常の位相で連続な E_0 の実線形形式 g に対して
>>102 より任意の x ∈ E に対して g(x) = Re(<x, f>) となる
E 上の複素線形形式 f が一意に存在する。
>>102 の証明から、任意の x ∈ E に対して f(x) = g(x) - ig(ix)
であるから f は E の通常の位相で連続である。即ち、f ∈ E' である。
よって、g は σ(E_0, E'_0) に関して連続である。

以上から E_0 の通常の位相で閉な E_0 の超平面全体と
σ(E_0, E'_0) に関して閉な E_0 の超平面全体は一致する。
よって、>>164 より本命題の主張が得られる。
証明終

567: 2008/03/02(日) 23:30:54 AAS
h

568: 2008/03/03(月) 11:57:28 AAS
i

569: 2008/03/04(火) 07:30:58 AAS
j

570(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/04(火) 20:57:39 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のの位相線形空間とする。
B を E における樽(過去スレ008の598)とする。
このとき、下半連続(過去スレ008の113)な半ノルム(過去スレ008の458) p で
B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } となるものが一意に存在する。

p が連続となるためには B が 0 の近傍であることが必要十分である。

証明
任意の x ∈ E に対して、p(x) = inf { α ＞ 0 | x ∈ αB } とおく。
>>19 より p が下半連続であることを示せばよい。

B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } であるから、
任意の α ＞ 0 に対して αB = { x ∈ E | p(x) ≦ α } である。
B は閉集合だから αB も閉集合である。
よって、{ x ∈ E | p(x) = 0 } = ∩{αB | α ＞ 0} も閉集合である。
α ＜ 0 のときは { x ∈ E | p(x) ≦ α } は空集合である。
以上から任意の実数 α に対して { x ∈ E | p(x) ≦ α } は閉集合である。
過去スレ008の114から p は下半連続である。
証明終

571: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/04(火) 21:20:33 AAS
定義
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
E' をその双対(>>65)とする。
E' 上の弱位相(>>66)で有界(>>35)な E' の部分集合を弱有界と言う。
E' 上の強位相(>>66)で有界な E' の部分集合を強有界と言う。

572(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/04(火) 22:32:02 AAS
>>549 を訂正する。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の部分集合とする。
M゜= { y ∈ F | 任意の x ∈ M に対して Re(<x, y>) ≧ -1 } を
M の極集合と言う。

573: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/04(火) 22:52:22 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の平衡的(過去スレ006の630)な部分集合とする。
M゜を M の極集合(>>572)とする。
M゜= { y ∈ F | 任意の x ∈ E に対して |<x, y>| ≦ 1 } であり、
M゜は平衡的な凸集合であり σ(E, F) で閉である。

証明
定義(>>572)から
M゜= { y ∈ F | 任意の x ∈ M に対して Re(<x, y>) ≧ -1 } である。

K が実数体のときは、任意の x ∈ M に対して -x ∈ M だから
y ∈ F のとき Re(-<x, y>) = Re(<-x, y>) より、
M゜= { y ∈ F | 任意の x ∈ E に対して |<x, y>| ≦ 1 } である。

K が複素数体のときは、λ ∈ K, |λ| = 1 のとき
任意の x ∈ M に対して λx ∈ M だから >>546 より
M゜= { y ∈ F | 任意の x ∈ E に対して |<x, y>| ≦ 1 } である。

以上から M゜が平衡的であることは明らかである。
>>552より M゜は凸集合であり σ(E, F) で閉である。
証明終

574: 2008/03/05(水) 13:45:58 AAS
k

575: 2008/03/05(水) 23:40:29 AAS
l

576: 2008/03/08(土) 05:31:22 AAS
m

577: 2008/03/08(土) 20:51:36 AAS
n

578: 2008/03/08(土) 21:37:17 AAS
abcdefghijklmnopqrstuvwxyz

579: 2008/03/08(土) 21:37:45 AAS
abcdefghijklmnopqrstuvwxyzabcdefghijklmnopqrstuvwxyz

580: 2008/03/08(土) 21:38:14 AAS
abcdefghijklmnopqrstuvwxyzabcdefghijklmnopqrstuvwxyz
abcdefghijklmnopqrstuvwxyzabcdefghijklmnopqrstuvwxyz

581: 2008/03/08(土) 21:38:53 AAS
abcdefghijklmnopqrstuvwxyzabcdefghijklmnopqrstuvwxyz
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abcdefghijklmnopqrstuvwxyzabcdefghijklmnopqrstuvwxyz

582: 2008/03/08(土) 21:40:05 AAS
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583: 2008/03/08(土) 21:42:33 AAS
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584: 2008/03/08(土) 21:46:06 AAS
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585: 2008/03/08(土) 21:51:10 AAS
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a

586: 2008/03/08(土) 21:51:36 AAS
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ab

587: 2008/03/08(土) 21:52:00 AAS
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abc

588: 2008/03/09(日) 03:30:31 AAS
o

589: 2008/03/09(日) 11:45:26 AAS
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590: 2008/03/09(日) 11:47:57 AAS
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591: 2008/03/09(日) 23:35:07 AAS
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592: 2008/03/10(月) 23:28:38 AAS
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593: 2008/03/10(月) 23:29:20 AAS
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594: 2008/03/11(火) 11:56:22 AAS
q

595: 2008/03/11(火) 22:17:50 AAS
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596: 2008/03/11(火) 22:19:51 AAS
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597: 2008/03/12(水) 00:40:25 AAS
r

598: 2008/03/12(水) 10:39:05 AAS
s

599: 2008/03/12(水) 20:41:09 AAS
t

600: 2008/03/12(水) 23:52:02 AAS
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601: 2008/03/13(木) 13:20:19 AAS
u

602: 2008/03/14(金) 00:23:00 AAS
v

603: 2008/03/14(金) 08:23:32 AAS
w

604: 2008/03/15(土) 10:16:34 AAS
x

605: 2008/03/15(土) 20:13:36 AAS
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606: 2008/03/15(土) 20:14:29 AAS
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607: 2008/03/15(土) 20:15:03 AAS
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608: 2008/03/15(土) 20:15:39 AAS
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609: 2008/03/15(土) 20:18:23 AAS
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610(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 13:49:40 AAS
>>566 の証明は良くないので無視してください。
>>566 の命題は正しいが後で直接使うかどうか不明なのでやはり今のところ
無視してください。

611(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 13:54:37 AAS
命題
K を実数体上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E と E' は対をなす(>>559)。
M を E の部分集合とする。
M の凸包の閉包と M の凸包の弱位相σ(E, E')による閉包は一致する。

証明
>>164 より M の凸包の閉包は M を含む閉半空間(>>150)全体の
共通集合である。
>>531 より E は弱位相σ(E, E')で局所凸な位相線形空間になる。
>>164 より M の凸包のσ(E, E')による閉包は M を含む閉半空間全体の
共通集合である。

>>545 より σ(E, E') に関して連続な E の線形形式全体は E' と一致する。
よって、E の通常位相に関する閉半空間とσ(E, E')による閉半空間は
同じものである。
これから本命題が得られる。
証明終

612: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 13:55:54 AAS
>>611
>K を実数体上の局所凸線形空間とする。

E を実数体上の局所凸線形空間とする。

613(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 14:15:28 AAS
命題
E を複素数体上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E と E' は対をなす(>>559)。
M を E の部分集合とする。
M の凸包の閉包と M の凸包の弱位相σ(E, E')による閉包は一致する。

証明
E_0 と E'_0 をそれぞれ E と E' を実数体上の線形空間と
見なしたものとする。
E_0 と E'_0 は実双線形形式 (x, f) → Re(<x, f>) により対をなす。
>>551 より σ(E, E') と σ(E_0, E'_0) は一致する。

>>545 より σ(E_0, E'_0) に関して連続な E_0 の実線形形式 g に
対して f ∈ E' が存在し、任意の x ∈ E に対して g(x) = Re(<x, f>)
となる。従って、g は E_0 の通常の位相でも連続である。

逆に E_0 の通常の位相で連続な E_0 の実線形形式 g に対して
>>102 より任意の x ∈ E に対して g(x) = Re(<x, f>) となる
E 上の複素線形形式 f が一意に存在する。
>>102 の証明から、任意の x ∈ E に対して f(x) = g(x) - ig(ix)
であるから f は E の通常の位相で連続である。即ち、f ∈ E' である。
よって、g は σ(E_0, E'_0) に関して連続である。

以上から E_0 の通常の位相で閉な E_0 の超平面全体と
σ(E_0, E'_0) に関して閉な E_0 の超平面全体は一致する。
よって >>611 の証明と同様にして本命題が得られる。
証明終

614: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 14:19:00 AAS
>>610
>>>566 の証明は良くないので無視してください。

>>566 の証明は >>613 で使ったのでそれほど悪くはないかもしれない
（苦笑）

615: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 14:21:48 AAS
命題(双極定理(>>554)の系)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E と E' は対をなす(>>559)。
M を E の部分集合とする。
M の極集合(>>549) M゜の極集合 M゜゜は M ∪ {0} の凸包の閉包である。

証明
双極定理(>>554)と>>611と>>613より明らかである。

616: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 14:42:23 AAS
局所凸位相線形空間は局所凸空間とも言う。

617(6): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 14:44:10 AAS
定義
E をを実数体または複素数体上の局所凸空間とする。
E の任意の樽(過去スレ008の598)が 0 の近傍であるとき E を樽型空間(barreled space)と言う。

618(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 15:19:14 AAS
命題
E を実数体または複素数体上の局所凸空間で Baire 空間(>>176)とする。
E は樽型空間(>>617)である。

証明
B を E の樽とする。
B は吸収的だから E = ∪{nB | n = 1, 2, ... } である。
>>177 より、ある整数 n ＞ 0 に対して nB は内点を持つ。
よって B も内点 x を持つ。
x = 0 なら B は 0 の近傍である。
よって x ≠ 0 と仮定してよい。
B の内部を int(B) と書く。
y ∈ E に -y を対応させる写像を f とする。
f は E の位相空間としての自己同型であるから
B は平衡的だから f(B) = B である。
f(int(B)) = int(f(B)) = int(B) である。
よって -x ∈ int(B) である。

B は凸だから、過去スレ008の435より B の内部 int(B) も凸である。
よって 0 ∈ int(B) である。
証明終

619(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 15:24:56 AAS
命題
Frechet 空間(>>2)は樽型空間(>>617)である。

証明
Baireの定理(>>178)より、Frechet 空間は Baire 空間である。
よって、>>618 より樽型空間である。
証明終

620(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 15:28:51 AAS
Banach 空間(過去スレ008の550)は Frechet 空間であるから
>>619より樽型空間である。

621: 2008/03/16(日) 15:30:22 AAS
Kummerさんは何者ですか？

622: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 15:39:35 AAS
>>618
>f は E の位相空間としての自己同型であるから

f は E の位相空間としての自己同型である。

623(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 19:27:36 AAS
命題
E を実数体または複素数体上の局所凸空間とする。
E が樽型空間(>>617)であるためには E の任意の下半連続(過去スレ008の113)
な半ノルム(過去スレ008の458)が連続であることが必要十分である。

証明
E を樽型空間とし、p を E の任意の下半連続な半ノルムとする。
B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } は過去スレ008の516より凸集合である。
B が吸収的かつ平衡的であることは明らかである。
p は下半連続だから過去スレ008の114より B は閉集合である。
よって B は樽である。E は樽型空間だから B は 0 の近傍である。
>>570 より p は連続である。

逆に E の任意の下半連続な半ノルムが連続であるとする。
B を E における樽とする。
>>570 より E の下半連続な半ノルム p で
B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } となるものが一意に存在する。
p は連続であるから >>570 より B は 0 の近傍である。
証明終

624(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 19:50:45 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
F を K 上の分離的な位相線形空間とする。
F(E, F) を E から F への写像全体とする。
Hom(E, F) を E から F への線形写像全体とする。
Hom(E, F) は F(E, F) の単純収束の位相(過去スレ007の154)に関して
閉である。

証明
x ∈ E, y ∈ E, λ ∈ K, μ ∈ K のとき
A(x, y, λ, μ) = { f ∈ F(E, F) | f(λx + μy) = λf(x) + μf(y) }
とおく。
f に f(x) を対応させる写像は連続である。
従って、f に f(λx + μy) を対応させる写像 G と
f に λf(x) + μf(y) を対応させる写像 H はそれぞれ連続である。

A(x, y, λ, μ) = { f ∈ F(E, F) | G(f) = H(f) } である。
F は分離的であるから >>204 より A(x, y, λ, μ) は閉である。

Hom(E, F) = ∩{ A(x, y, λ, μ) | x ∈ E, y ∈ E, λ ∈ K, μ ∈ K }
であるから Hom(E, F) は閉である。
証明終

625(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 20:06:39 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
F を K 上の分離的な位相線形空間とする。
F(E, F) を E から F への写像全体とする。
F(E, F) には単純収束の位相(過去スレ007の154)を入れる。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
H を L(E, F) の同程度連続(>>315)な部分集合とする。
H の F(E, F) における閉包 H~ は L(E, F) に含まれ同程度連続である。

証明
>>624 より H~ の各元は線形写像である。
>>326 より H~ は同程度連続である。
よって H~ ⊂ L(E, F) である。
証明終

626: 2008/03/17(月) 10:29:24 AAS
y

627: 2008/03/18(火) 09:22:59 AAS
z

628: 2008/03/18(火) 20:45:28 AAS
a

629: 2008/03/19(水) 16:27:16 AAS
b

630(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 10:36:52 AAS
命題
E と F を位相アーベル群とする。
H を E から F への連続準同型写像からなる集合とする。
このとき次の条件は同値である。

(1) H は 0 で同程度連続(>>315)である。

(2) H は同程度連続(>>315)である。

(3) H は同程度一様連続(>>316)である。

証明
(3) ⇒ (2) ⇒ (1) は明らかであるから、
(1) ⇒ (3) を証明すればよい。

仮定から F の 0 の任意の近傍 V に対して E の 0 の近傍 W が存在し、
x ∈ W, f ∈ H に対して f(x) ∈ V となる。
よって、x - y ∈ W のとき f(x - y) = f(x) - f(y) ∈ V となる。
よって、H は同程度一様連続である。
証明終

631(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 11:37:47 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の局所凸空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
L(E, F) の部分集合 H が同程度連続(>>315)であるためには
F の任意の連続な半ノルム p に対して sup { pf | f ∈ H } が
E の任意の連続な半ノルムであることが必要十分である。

証明
>>540より明らかである。

632(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 11:50:38 AAS
定義
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
L(E, F) の単純収束の位相(>>57)に関して有界(>>35)な部分集合を
L(E, F) の単純有界な部分集合と言う。

633(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 13:00:14 AAS
定義
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の局所凸空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
L(E, F) の部分集合 H が単純有界(>>632)であるためには
F の任意の連続な半ノルム p と任意の x ∈ E に対して
{ p(f(x)) | f ∈ H } が有界であることが必要十分である。

証明
>>15より F の 0 の近傍で樽となるもの全体は 0 の基本近傍系となる。
F の連続な半ノルム p に対して
V(p, 1) = { x ∈ F | p(x) ≦ 1 } とおく。
過去スレ008の520より V(p, 1) は樽である。
よって、>>19より V(p, 1) の全体は 0 の基本近傍系である。

F の連続な半ノルム p と E の有限部分集合 A に対して
W(A, p) = { f ∈ L(E, F) | x ∈ A のとき p(f(x)) ≦ 1 } とおく。
W(A, p) の全体は L(E, F) の単純収束に位相の 0 の基本近傍系である。
H が単純有界であるとは、FE の任意の連続な半ノルム p と
E の任意の有限部分集合 A に対して、ある λ ∈ K, λ ≠ 0 があり、
H ⊂ λW(A, p) となることである。
g ∈ λW(A, p) であることは
x ∈ A のとき p((1/λ)g(x)) ≦ 1 即ち p(g(x)) ≦ |λ| と同値である。
これから命題の主張は明らかである。
証明終

634(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 13:14:28 AAS
定理(一般化されたBanach-Steinhausの定理)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の樽型空間(>>617))とし、F を K 上の局所凸空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
L(E, F) の任意の単純有界(>>632)な部分集合 H は同程度連続である。

証明
F の任意の連続な半ノルム p に対して q = sup { pf | f ∈ H } とおく。
即ち、任意の x ∈ E に対して q(x) = sup { p(f(x)) | f ∈ H } である。
>>633 より、任意の x ∈ E に対して q(x) は有限である。
従って q は E の半ノルムである。
p は連続だから f ∈ H のとき pf は連続、従って下半連続
(過去スレ008の113)である。
過去スレ008の116より q も下半連続である。
>>623 より q は連続である。
>>631 より H は同程度連続である。
証明終

635(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 14:04:56 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
H を L(E, F) の部分集合とする。

H が同程度連続(>>315)であるためには
sup{ |f| | f ∈ H } が有限であることが必要十分である。
ここで |f| は f のノルム(過去スレ006の690)である。
即ち |f| = sup { |f(x)| | x ∈ E, |x| ≦ 1 }

証明
過去スレ006の692 より
f ∈ H と実数 a ＞ 0 に対して |f| ≦ a となることと
x ∈ E のとき |f(x)| ≦ a|x| となることは同値である。
よって >>540 より本命題の主張が得られる。
証明終

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