スレタイ箱入り無数目を語る部屋22

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900: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/18(水) 10:00:43.84 ID:B/ePC74M

>>893
(引用開始)
>さて、M→∞として 自然数N全体で考えると
>上記のように、自然数N全体には、確率測度1を与えることができない
　「上記のように」とは正しくは「>>867で」
　「確率測度」ではなく「同様に確からしい確率測度」ね
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
幼稚だが、一つ良いことをいったね
それ、大学レベルでは、確率分布の考えだ（下記）

(引用開始)>>866より
実際、Nの確率測度なら存在する
例
N={0,1,2,…}
{0}に測度1/2
{1}に測度1/4
{2}に測度1/8
・・・
{n}に測度1/2＾(n+1)
(引用終り)

これは、下記の確率分布において、確率変数Xを自然数全体にとり
Xに対する 各々の値をとる確率を、指数関数的に減衰させた場合の確率測度だ
つまり、n→∞で、確率測度は 早く減衰しなければ、その積分ないし和は発散してしまうのです
発散すると、全体の確率測度で、１を与えることができません！
その減衰の速さの限界は、-1乗より早く（x^-1 あるいは n^-1 、例えばx^-2 はOK）です

正規分布は有名ですね。指数関数的に減衰する 扱いやすい分布です

では、箱入り無数目はどうか？
決定番号dは、d→∞で減衰しません。決定番号dは、d→∞で減衰どころか 発散しています。これはダメです。全くダメですｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E5%88%86%E5%B8%83
確率分布
確率分布（かくりつぶんぷ、英: probability distribution）は、確率変数に対して、各々の値をとる確率全体を表したものである。日本産業規格では、「確率変数がある値となる確率，又はある集合に属する確率を与える関数」と定義している[1]。

概要
例えば、「サイコロ2個を振ったときの出た目の和」は確率変数である。この確率変数 X に対する分布は次の表のようになる。

すなわち、離散型確率変数である場合は、確率分布とは確率変数の値にその確率（確率質量）を対応させる関数（確率質量関数）のことであると言うこともできる。しかし、例えば「次に電話がなるまでの時間」といった、連続型確率変数の場合は、確率変数値での確率が全て 0 となり、確率分布を確率質量関数で表すことができない。

「次に電話がなるまでの時間」は確率変数である。この確率変数 X の分布が次のようになったとする。
FX の導関数 fX は確率密度関数と呼ばれ、確率は積分を用いて
略
と書ける。

通常、連続値をとる確率変数の分布は確率密度関数を用いて記述される。なぜなら、確率密度関数は初等関数で書けるが、累積分布関数は書けない場合が多いからである。

公理主義的な確率論においては、d次元ベクトル値確率変数の確率分布とは、その確率変数の引き起こす像測度のことである。この測度は d次元ユークリッド空間上の確率測度であり、ユークリッド空間の部分集合に対して、確率変数の値がその集合に入る確率を与える関数となる。

単に確率分布というときは、d次元ユークリッド空間などのよく使われる可測空間上で定義された確率測度のことをいう。ただの確率測度と違って空間に散らばっている様子がグラフなどの目に見える形で表現できるので「分布」と呼ばれる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/900

910: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/18(水) 17:33:15.14 ID:B/ePC74M

>>902
>アルキメデスの性質から示せるって
>アルキメデスの性質、分かる？

下記のヴィタリ集合の非可測の証明と同じスジだよ
下記を百回音読したあと
ルベーグ測度を勉強してね、オチコボレさんｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう、英: Vitali set）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]。ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算個のヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。1970年にロバート・ソロヴェイ（英語版）は、到達不能基数の存在を仮定することにより、全ての実数の集合がルベーグ可測となるような（選択公理を除いた）ツェルメロ・フレンケル集合論のモデルを構築した[2]。

重さに最も近い一般化はσ-加法性を持つルベーグ測度である。この測度は [a, b] の長さに b − a を割り当て、可算集合である有理数全体の集合には 0 を割り当てる。ルベーグ測度が定められる集合をルベーグ可測集合と呼ぶ。しかし、ルベーグ測度の構成（カラテオドリの拡張定理を使う）自体からは非可測集合の存在は明らかに分かることではない。その問題に対する答えは選択公理を仮定するかどうかをも問うことになる。

構成と証明
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。

R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。
すなわち、ヴィタリ集合 V は [0, 1] の部分集合で、各 r ∈ R に対して v − r が有理数になるような一意的な v を要素に持つものである。ヴィタリ集合 V は不可算であり、
u,v∈V,u≠v
であれば v − u は必ず無理数である。

ヴィタリ集合は非可測である。これを示すために V が可測だったとして矛盾を導く。
略すが
（概要は、ヴィタリ集合Vが可測だとして、その測度をλ(V)として
　[−1, 1] の有理数の数え上げを使って、Vの平行移動の集合を作ると
　それらを集めたものは、区間[-1,2]に入る
　有理数は、可算無限なので
　1≦Σλ(V)≦3 が導かれる（Σλ(V)は、λ(V)の可算無限和を表す）
　λ(V)が有限ならば∞に発散し、0ならばその和も0で矛盾。よって 測度λ(V)は存在しえないとなる）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/910

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