ℝ/ℚの代表元ってどんなの？ (143ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん
ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡
74(1): 09/10(水)07:21 ID:u0x0EfOw(1/6) AAS
>>72 つづき
ふっふ、ほっほ
再録
一句”不勉強 オチコボレのさばる 便所板”（字余り）>>68
”無限小量ε”を考えることくらい 21世紀数学では日常茶飯事よ
例えば、下記磯野優介『ライプニッツは，1/∞ を0ではない数（つまり無限小）として捉えており，このように∞を一つの数とみなす研究方法は無限小解析と呼ばれています』
1980年代の数学科で学んだが、”超準解析入門−超実数と無限大の数学”に到達できなかった人は
”ε-δ 論法が、大学数学の精華であり 数学の頂だ”と 錯覚し妄想する
だが、その考えは 古い
下記を百回音読してね（無限小数展開も出てくるよ）
(参考) これ分かり易い （＾＾
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf
超準解析入門−超実数と無限大の数学 磯野優介
数学入門公開講座テキスト 京都大学数理解析研究所，平成29年
概要
「無限に大きい数」は存在しません．どんな数を持ってきても，それに1を足せば，より大きな数が出来るからです．同様に「無限に小さい数」も存在しません．このような無限数は，数学的に厳密に定義出来ないにもかかわらず，古くから研究に用いられてきました（いわゆる「無限小解析」）．その後19世紀に入り，厳密さを備えたε-δ論法が登場し，無限小解析は歴史から姿を消します．超準解析とは，「無限に大きい，小さい数」を，数学として厳密に定式化し，取り扱う学問です．この枠組みでは，無限数を用いた計算や証明が可能で，現代数学を用いた無限小解析の再現とも言えます．この講義では，そのような無限数を含む「超実数」を構成し，それを用いて解析学の基礎的な定理を実際に証明してみようと思います．
省7
75(1): 09/10(水)07:22 ID:u0x0EfOw(2/6) AAS
つづき
超準解析とモデル理論
モデル理論とは，数学で扱う構造そのものを研究する理論です．ロビンソンは超実数を構成した後，モデル理論の枠組みで超実数を捉え直し，超準解析を進めていきました．特に，実数で成立する性質が全て超実数でも成立する，という事実がモデル理論を用いて厳密に証明出来ます．しかしモデル理論は初学者には分かりづらい理論ですし，我々の講義時間も限られていますので，この講義ではモデル理論には一切触れません．
P5
2.2 コーシー列を用いた実数Rの構成
この方法は，後で超実数を作る際の参考になるため，やや詳しく解説します．
実数の小数点展開について考察しましょう．
コーシー列は収束先の元aに一切言及していない事に注意しましょう．
省15
76(1): 09/10(水)07:22 ID:u0x0EfOw(3/6) AAS
つづき
5.1 関数解析とフォンノイマン環
無限次元ベクトル空間
P24
コンヌの分類定理
その重要性を完全に決定づけたのは，1970年代のアラン・コンヌによる一連の研究でしょう．
以下，コンヌの超積を用いた研究を，非常に大雑把に説明してみます．
専門用語の羅列になってしまうので，面倒なら下の定理5.1まで飛ばしてください．
P25
定理5.1 (コンヌ，1976年). 超有限フォンノイマン環は，従順性と呼ばれる条件で特徴づけられる．特にここから，量子力学で現れるフォンノイマン環は全て分類出来る．
これにより，量子力学で現れるフォンノイマン環を全て列挙するという偉業が達成されたのです．すでに述べたように，これは当時の有名な未解決問題の解決で，コンヌはこの業績を主として1982年にフィールズ賞を受賞しました．
(引用終り)
以上
78(2): 09/10(水)07:49 ID:u0x0EfOw(4/6) AAS
>>73
（引用開始）
これから ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) >>18 に
0を超える有限の測度を与えることができないことは 直ちに納得できる
もし λ(V)に 小さいが しかし 有限値を与えるならば
[0,ε]のεを微小にとることで、区間[0,1]内に 長さεの区間を いくらでも多く作れて
区間[0,1]のルベーグ測度1を超えさせることで 矛盾が導ける
（引用終了）
ふっふ、ほっほ >>52にも書いたが
少し メンタルピクチャーの補足をしよう >>20の加藤文元 メンタルピクチャー も再度見てね
１）R/Qで ヴィタリ集合 V で区間[0,1]に集める前は、数直線（-∞,+∞）全体に広がっているとして
まず 全てを プラス側 [0,+∞）に集める
そして、R/Qの代表の元の無限小数展開を考えると
無限小数展開の整数部分を 全て0にすることで 区間[0,1]に集めることができる（整数成分による平行移動）
２）これは、あたかも 部屋全体にケムリが分散しているときに
そのケムリの量（例えば体積）を量るために ある小さな空間に集めたことに相当する
３）この考えは、ケムリの量は 集める前と後で 不変という仮定をおいているってことだ
つまり ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) は、分散しているときと 小さな空間に集めたときとで不変と仮定している
４）さて、区間[0,1]を 無限小数展開を使って、任意の 少数n位以下に縮小できる（少数n-1位以上の成分は有理数だから その分の平行移動を使える）
そうすると、区間[0,10^n]に入れることができる
つまり、ヴィタリ集合 V は 任意に小さい区間に集めることができる
よって ルベーグ測度 λ(V) ＜ 10^n が言える
５）では、区間[0,0]に入れることができるか？
上記のR/Qの代表の元の無限小数展開モデルでは、区間[0,0]は 無限小数展開が 全て 0.000・・・となって
数0に潰れるので それはできない
よって、R/Qで ヴィタリ集合 V は 0でない 任意微小区間 区間[0,ε]に入れることができるが
εは0にはできない
もし、ルベーグ測度の超準版ができれば ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) ＝ε だな■
なお、ヴィタリ集合 V が 集める前と後で 不変という仮定とは無関係に
非可測を証明するのが 元証明です
だが、元証明は ヴィタリ集合 Vの メンタルピクチャーとしては いまいちスッキリしないだろう
省1
79: 09/10(水)07:52 ID:u0x0EfOw(5/6) AAS
>>78 タイポ訂正
そうすると、区間[0,10^n]に入れることができる
つまり、ヴィタリ集合 V は 任意に小さい区間に集めることができる
よって ルベーグ測度 λ(V) ＜ 10^n が言える
↓
そうすると、区間[0,10^-n]に入れることができる
つまり、ヴィタリ集合 V は 任意に小さい区間に集めることができる
よって ルベーグ測度 λ(V) ＜ 10^-n が言える
分ると思うが （＾＾；
88(2): 09/10(水)21:33 ID:u0x0EfOw(6/6) AAS
>>81
>セタ「測度の値域に超準実数を許せばヴィタリ集合は可測になる！」←ホントけ？
ふっふ、ほっほ
商R/Qの代表元からなるヴィタリ集合V
これは 数直線（-∞、+∞）に分散している
いま、Vの測度λ(V)について その分散状態に無関係にある決まった測度を付与できると仮定する
A)実数の無限小数展開を考えると
Vを 微小区間[0,10^-n] ｜ｎ>1 の任意整数
内に取れることは すでに示した
だから λ(V)＜10^-n だ
B)一方、区間[0,0]に入れることが出来ないことも
既に示した
二つの条件A)B)両方を同時に満たすのは
超準実数の無限小ε 以外にはありえない
あとは、無限小εを含むように
拡張ルベーグ測度論が構築できるか否かだけｗ ；ｐ）
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.022s