ℝ/ℚの代表元ってどんなの？

ℝ/ℚの代表元ってどんなの？ (157ﾚｽ)
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105: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/15(月) 13:15:25.07 ID:iK+sB2GV

>>102 補足
　>>99より 再録
https://www.stat.rice.edu/~dobelman/courses/Lebesgue_Measure.Meisters.pdf
Lebesgue Measure on the real line by G. H. Meisters • February 14, 1997
P1
It turns out that it is not possible to define a function µ : 2^R → [0,∞] that satisfies all of these properties. It is possible if we allow our measure to assume “infinitesimal” values; that is, if we take µ : 2^R → [0,∞]∗, where [0,∞]∗ ⊂ R∗, a nonstandard model of R.
(google訳)
これらの性質をすべて満たす関数 µ : 2^R → [0,∞] を定義することは不可能であることが判明した。しかし、測度が「無限小」値をとることを許容すれば、つまり、R の非標準モデルである [0,∞]∗ ⊂ R∗ となる µ : 2^R → [0,∞]∗ を取れば、定義は可能となる。
(引用終り)

さて
１）上記で 2^Rが 実数の冪集合(下記)を意味し
　Rの任意の部分集合に 対して
　 µ : 2^R → [0,∞]∗, where [0,∞]∗ ⊂ R∗, a nonstandard model of R, assume “infinitesimal” values
　で、Rの任意の部分集合 に 拡張された測度 µ それは R∗ a nonstandard model of R “infinitesimal”無限小を仮定して
　可能だと G. H. Meisters 1997 は 書いた
２）一方 下記 Vitali set（ヴィタリ集合）もまた、Rの部分集合 で 2^R に含まれることは 中高一貫校生も分るだろう
　そして 下記 1964年 ソロヴェイ は、フルパワー選択公理無しでは 実数のすべての(部分)集合がルベーグ可測となる とした（但し 到達不可能基数の存在下で）
３）よって、実数の任意部分集合S ⊂R 全てに測度を付与するには 二択で
　 G. H. Meisters 1997のように “infinitesimal”無限小を仮定して 拡張された測度 µ nonstandard model
　か、(到達不可能基数の存在下)フルパワー選択公理無しソロヴェイモデル*) とするのか■
注*) ソロヴェイモデルでは、R/Qの代表を取る Vitali set 類似を 構成できないってこと

G. H. Meisters 1997の証明がない？
それは プロ数学者に聞きなさいｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88
冪集合
与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のこと
記法
集合 S の冪集合は ・・・
2^S のように記される。2^S という表記は、一般に X^Y が Y から X への写像全体の集合を表すことによる（後述）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1751415066/105

106: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/15(月) 13:15:51.34 ID:iK+sB2GV

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set
Vitali set
(google訳)
ヴィタリ集合
選択公理の役割
上に示したヴィタリ集合の構成には選択公理が用いられている。ここで疑問が生じる。ルベーグ測定可能でない集合の存在を証明するために選択公理は必要なのだろうか？答えは「はい」である。ただし、到達不可能基数は集合論における最も一般的な公理化、いわゆるZFCと整合している必要がある。
1964年、ロバート・ソロヴェイは、選択公理を用いずに、実数のすべての集合がルベーグ可測となるツェルメロ＝フランケル集合論のモデルを構築した。これはソロヴェイモデルとして知られている。[ 3 ]ソロヴェイは証明において、到達不可能基数の存在はツェルメロ＝フランケル集合論の他の公理と整合的であり、すなわち矛盾を生じないと仮定した。この仮定は集合論者の間では広く正しいと信じているが、ZFCだけでは証明できない。[ 4 ]
1980年、サハロン・シェラは、ソロヴェイの結果は到達不可能基数に関する彼の仮定なしには証明できないことを証明した。[ 4 ]
参考文献
4 ワゴン、スタン。トムコヴィッチ、グジェゴシュ (2016)。バナッハ・タルスキーのパラドックス(第 2 版)。ケンブリッジ大学出版局。296〜ページ
＜ここで、英原文 は 下記＞
Role of the axiom of choice
The construction of Vitali sets given above uses the axiom of choice. The question arises: is the axiom of choice needed to prove the existence of sets that are not Lebesgue measurable? The answer is yes, provided that inaccessible cardinals are consistent with the most common axiomatization of set theory, so-called ZFC.
In 1964, Robert Solovay constructed a model of Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice where all sets of real numbers are Lebesgue measurable. This is known as the Solovay model.[3]
In his proof, Solovay assumed that the existence of inaccessible cardinals is consistent with the other axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, i.e. that it creates no contradictions. This assumption is widely believed to be true by set theorists, but it cannot be proven in ZFC alone.[4]
In 1980, Saharon Shelah proved that it is not possible to establish Solovay's result without his assumption on inaccessible cardinals.[4]
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1751415066/106

108: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/09/15(月) 15:51:25.77 ID:iK+sB2GV

下記の石井大海氏のパワポが分かり易い（10年前から何度も見ているが・・　；ｐ）
強制法のポンチ絵もあるよ

加藤文元氏 メンタルピクチャー
＜“big picture”＞Terence Tao だね

これによれば、フルパワー選択公理なし（到達不能基数あり）で
Vitali setのような非可測集合は ”潰せる”らしい （＾＾

(参考)
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~kota/wakate2015.html
数学基礎論若手の会2015
講演資料（一部）
石井大海(筑波大学) Lebesgue 可測性に関する Solovay の定理と実数の集合の正則性.
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~kota/ishii.pdf
Lebesgue 可測性に関するSoloayの定理と実数の集合の正則性
1石井大海筑波大学数理物質科学研究科数学専攻博士前期課程二年
Friday 27th November数学基礎論若手の会2015
P4
背景：測度の問題
Lebesgue 測度 実数の集合を図形と見做した時に長さに当る量．
測度の問題 任意の実数の集合に対し，測度が定義出来る（可測）か？
Theorem 1 (Vitali)
RQの完全代表系はLebesgue非可測．
⇝ 本講演では選択公理の使用について詳しく見ていく．

(追加参考)
加藤文元氏 メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」
IUTに欠落しているのは、メンタルピクチャー＆形式化図式か
(参考)
https://note.com/katobungen/n/nccba3ef014f6
note.com
なぜ微分積分学は不完全なのか？
加藤文元 2025年2月23日
メンタルピクチャー
私は数学や数学の理解に関するいくつかの概念とその用語を導入したいと思う。そのうちのひとつは「メンタルピクチャー（MP）」というものだ。
＜“big picture”＞
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
There’s more to mathematics than rigour and proofs Terence Tao
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/
Career advice Terence Tao

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1751415066/108

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