ℝ/ℚの代表元ってどんなの？

ℝ/ℚの代表元ってどんなの？ (160ﾚｽ)
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18(7): 09/06(土)07:44 ID:JgP2aXhR(1/7) AAS
>>16-17
ご苦労さま
下記に ja.wikipediaの証明を転記しておく
en.wikipedia.orgの記載の方が詳しいので併読するといい

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合（英: Vitali set）
構成と証明
ヴィタリ集合 V は不可算であり、
u,v∈V,u≠v
であれば v − u は必ず無理数である。
ヴィタリ集合は非可測である。これを示すために V が可測だったとして矛盾を導く。q1, q2, ... を [−1, 1] の有理数の数え上げとする(有理数集合は可算なのでこれは可能)。V の構成から、平行移動による集合
Vk=V+qk={v+qk:v∈V}, k = 1, 2, ... はそれぞれ互いに交わらない。さらに、
[0,1]⫅ ∪k Vk ⫅[−1,2] である。
ここで、ルベーグ測度のσ-加法性を使うと:
1≦?k=1〜∞ λ(Vk)≦3.
である。ルベーグ測度は平行移動について不変なので
λ(Vk)=λ(V) である。ゆえに、
1≦?k=1〜∞ λ(V)≦3.
であるが、これは不可能である。
一つの定数の無限和は 0 であるか無限大に発散するので、いずれにせよ [1, 3] の中には入らない。すなわち V は可測ではない。つまりルベーグ測度 λ はいかなる値も λ(V) の値として定義できない[3][4]。

https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set
Vitali set
Non-measurability
(ここに上記の少し詳しい証明がある)

20(8): 09/06(土)08:33 ID:JgP2aXhR(2/7) AAS
>>13
>>例えば、√2=1.414・・を含む類で √2 -1=0.414・・と平行移動すると区間[0, 1]内に代表を取れる
>>また √5=2.2360・・なら √5 -2=0.2360・・と-2平行移動すれば区間[0, 1]内に代表を取れる
>>これを、全ての無理数でやり尽くすことができるが選択公理
>はい、大間違いです。

ここ便所板の５ｃｈ
しばしば、数学オチコボレさんが発狂してヘンなことを書く
玉石混交。ここは”玉と石”の見分けがつかない読者は、きちんと裏付けを取るべし

さて、20世紀に無限集合論が発展して
2025年のいま現代数学では無限を扱うことは当たり前です
1980年ころの学部数学科では「無限操作は極限なり」という古い教え方だった
それは一理あるが、捕らわれていると、もう21世紀現代数学では間に合わないことが多い

下記加藤文元メンタルピクチャー、Terence Tao ＜“big picture”＞、謎の数学者「絵」に例え、ポアンカレ直感と論理
原則として無限の操作を直感で認めてそれを現代数学の論理で裏付けるべし（by ポアンカレ）
それが正しいと思うよ

(参考)
2chｽﾚ:math
https://note.com/katobungen/n/nccba3ef014f6
note.com
なぜ微分積分学は不完全なのか？
加藤文元 2025年2月23日
メンタルピクチャー
私は数学や数学の理解に関するいくつかの概念とその用語を導入したいと思う。そのうちのひとつは「メンタルピクチャー（MP）」というものだ。
省9

21(3): 09/06(土)08:33 ID:JgP2aXhR(3/7) AAS
つづき

＜“big picture”＞
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
There’s more to mathematics than rigour and proofs Terence Tao
3. The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/
Career advice Terence Tao

謎の数学者の ”数学に向かない人”の話でも「絵」に例えています
これ“big picture”ですね。 “big picture”が分らないおサルさん(後述)ｗこれでしょうね；ｐ）
(参考)＜いまリンク切れだが＞
https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=11https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=1
数学に向かない人の数学書の読み方。数学者はこうやって読む
謎の数学者 2022/06/07
コメント
@gary8593
2 年前
「絵を描くように」という例えが、めちゃくちゃ腑に落ちました。
特に英語の文献を読む時に精読を心がけすぎて、全体像が掴めなくなることがよくあって困ってたので、参考にします。

https://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9
Henri Poincaré
https://en.wikipedia.org/wiki/The_Value_of_Science
The Value of Science (French: La Valeur de la Science) is a book by the French mathematician, physicist, and philosopher Henri Poincaré. It was published in 1904. The book deals with questions in the philosophy of science and adds detail to the topics addressed by Poincaré's previous book, Science and Hypothesis (1902).
(google訳)
直感と論理
最後に、ポアンカレは幾何学と解析学の科学の間に根本的な関係があるという考えを提唱しました。彼によれば、直感には二つの主要な役割があります。科学的真理を探求する上でどの道を進むべきかを選択すること、そして論理的展開を理解することです。
論理は確実性しか与えず、証明の手段である。直感は発明の手段である。
(引用終り)
以上

22(1): 09/06(土)09:04 ID:JgP2aXhR(4/7) AAS
>>19
>>代表を取る操作
>がfのことだよ

下記＜加藤文元メンタルピクチャー＞
非可算無限ある同値類から各代表を取る非可算無限操作が
選択関数によって「形式化された理論（FT）」と解釈できる

それで、なんら問題なし

(参考)
　>>20より
加藤文元 2025年2月23日
メンタルピクチャー
「メンタルピクチャー（MP）」の対極にある概念としての「形式化された理論（FT）」は、人間の書いた論文の議論のようなものも含む、広い概念である。そして、数学の厳密化とか精密化とは、このような緩い意味での形式化
(*)　　MP ーーーー形式化ー＞ FT
のことである。
形式化図式と数学の「理解」
形式化図式は数学を「理解する」という行為の内実とも、深く関係している。人間による数学の理論とは、単なるコードの連なりとして理解することではない。それは理論のメンタルピクチャー（MP）と、それと形式的理論との関連付け、すなわち形式化図式を構築することである。メンタルピクチャーだけによる理解は危険であるが、メンタルピクチャーによる裏付け・接地のない理解は不健康である。それは健康でないだけでなく、理解の深さがないという意味でも、完全な理解とは言えない。

31(6): 09/06(土)11:45 ID:JgP2aXhR(5/7) AAS
>>30
ご苦労さまです

　>>20の加藤文元メンタルピクチャー
で、無限小数展開と有限小数で R/Qのヴィタリ集合（英: Vitali set）>>18
の”絵”（ピクチャー）を提供しよう

１）下記東北大尾畑研による第8章非可算集合より
　R/Qの任意代表元を無限小数展開 m.ξ1ξ2ξ3・・・∈R/Q で表す
　ここで、mは整数部分である
　代表元は全て非負とできる（∵ 十分大きな有理数を加えて平行移動させれば良い）
２）これら m.ξ1ξ2ξ3・・・∈R/Q を区間[0,1]内に修めたいときは
　各整数のm分平行移動して 0.ξ1ξ2ξ3・・・∈[0,1] とできる
３）さて >>14の ”区間　[0,a] ただしaは有理数” で
　a = 10^(-n) | n≧1 として [0,10^(-n)] にすることができる
　即ち 0.ξ1ξ2ξ3・・・ξnξn+1・・・から
　有限小数 0.ξ1ξ2ξ3・・・ξn を引き算すると
　0.000・・・0ξn+1・・・とできる
（有限小数は有理数であるから代表の取り直しになる）
　これらの操作を R/Qに対する選択公理による代表に対して非可算無限回行うことで
　すべて少数n位以下区間 [0,10^(-n)]内にできる
　言い換えると、[0,ε]内にできる

これからヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) >>18 に
0を超える有限の測度を与えることができないことは直ちに納得できる
もし λ(V)に小さいがしかし有限値を与えるならば
[0,ε]のεを微小にとることで、区間[0,1]内に長さεの区間をいくらでも多く作れて
区間[0,1]のルベーグ測度1を超えさせることで矛盾が導ける

”λ(V)＝0”が矛盾を生じることは、もう一工夫いる*)（>>18にある）
（ *)下記カントール集合の例があるので
非可算だからルベーグ測度は 0 でないは、言えない）
省24

36(4): 09/06(土)14:34 ID:JgP2aXhR(6/7) AAS
>>33
>>区間[0,1]のルベーグ測度1を超えさせることで矛盾が導ける
>はい、極めつけの大間違い。
>λ(V)=1/εとすれば何ら矛盾は無い。実際(1/ε)×ε=1。

それは、面白い発想だ by ポアンカレ（下記）
証明の論理という意味では ”λ(V)=1/ε”の証明が必要だが・・ｗ
それは、証明できまいｗｗ

いまここで述べたことは
R/Qのヴィタリ集合 V が、いかに”ヘンテコリン”な集合であるかの
メンタルピクチャー (by 加藤文元)
を与えたのだよ

R/Qのヴィタリ集合 V だが、いまこれには
区間によらない有限固定値のルベーグ測度を与えることはできないこと示したのだ

なるほど、区間[0,ε]の区間長さに依存する値 λ(V)=1/εを取れるかねｗ？
まあ、それが証明されたら面白いけどねあっオチコボレさんにそれを要求するのは酷だったな；ｐ）
省8

52(1): 09/06(土)23:12 ID:JgP2aXhR(7/7) AAS
>>36 補足
(引用開始)
いまここで述べたことは
R/Qのヴィタリ集合 V が、いかに”ヘンテコリン”な集合であるかの
メンタルピクチャー (by 加藤文元)
を与えたのだよ
R/Qのヴィタリ集合 V だが、いまこれには
区間によらない有限固定値のルベーグ測度を与えることはできないこと示したのだ
(引用終り)

１）そもそもこのスレのテーマは
　>>1 "ℝ/ℚの代表元ってどんなの？"だった
　その一つの切り口が >>10 ヴィタリ集合Vで加法の商群 R/Q
　選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れるという
２）言い換えると、選択公理にお任せだと
　数直線区間（-∞,+∞）に普通にはカスミの如く薄く分散している
　ルベーグ測度評価には不便だと
　小さな区間[0, 1]に終結させた
　このとき、単純な仮定として区間（-∞,+∞）に分散している状態と
　区間[0, 1]に終結させた場合とで測度は不変とする
　つまりヴィタリ集合Vのルベーグ測度λ(V) は前後で変わらないと
３）ところで、>>14の指摘したように
　区間[0, 1]→区間　[0,a)
　ただしaは有理数有理数aは幾らでも0に近いものにしても構わない
　で、この場合も λ(V)は不変と仮定したとき
　ε= 10^(-n) で [0,ε] >>31
　とすることで、区間によらない
　つまり有限固定値のルベーグ測度を与えることはできないこと示したのです

これは、"ℝ/ℚの代表元ってどんなの？"
に対する一つの切り口で >>20の加藤文元メンタルピクチャーを一つ提供したってこと

さてもう一つの切り口で、"ℝ/ℚの代表元ってどんなの？"は、本質的には選択公理任せだと
いまの人類の数学では、R/Q の分類さえ具体的に完遂できないのが現状
省7

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