雑談はここに書け！【６７】 (352ﾚｽ)
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298(1): 09/16(火)06:37 ID:IFp7hVjx(1/2) AAS
何故ポール・エルデシュは収束する級数
Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))
が無理数なることを示せなかったのか不思議だ

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300(2): 09/16(火)16:46 ID:IFp7hVjx(2/2) AAS
>>299
Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) が有理数であると仮定する
仮定から、或る互いに素な正の整数p,qが存在して
Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))＝q/p であるから
(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) は正の整数である
また、(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,p}(1/(k!＋1)) は正の整数である。よって、
A＝(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))−(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,p}(1/(k!＋1))
とおくと、Aは正の整数である。しかし、Aを上から評価すれば
A＝(p!＋1)!Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝(p!＋1)!Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝p!×(p!＋1)Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k!＋1))
＜p!Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝p!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k＋p＋1)!＋1)
＜p!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k＋p＋1)!)
＝p!Σ _{k＝1,2,…,+∞}(1/(k＋p)!)
＜Σ _{k＝1,2,…,+∞}(1/2)^k＝1
であるから、Aは正の整数ではない
これはAが正の整数であることに反し、矛盾が生じる
故に、背理法により、Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) は無理数である

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