現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net

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161(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)06:52 ID:eSmTZwF/(1/25) AAS
>>157-160
どうも。スレ主です。
メンターさんが、ちょっと引いたあと、おっちゃんの証明を読んでくれて、間違いをしてきしてくれていた方だね

みなさん、コテがないので不便だから、”TAさん”とさせてもらおう
私より、数学に詳しそうなので。（私は、自称学部３年くらいかなと思っている）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%81%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%A2%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%88
ティーチングアシスタント (Teaching Assistant)とは、大学などにおいて、担当教員の指示のもと、学生が授業の補助や運用支援を行うこと、あるいはそれを行っている学生のこと。基本的には大学院生が多い。TAとも略される。

163(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)07:55 ID:eSmTZwF/(2/25) AAS
>>158
>「 Q(S)＝R 」>>128

ここをちょっと突っ込ませて貰うと

１．まず復習から、普通の学部の代数学では、例えば、Qに√2を添加した拡大体Q(√2)で、代数拡大。
２．Qにπを添加した拡大体Q(π)は、超越拡大。超越基底はπで、超越次数は１
３．そして、両方を添加したQ(√2,π)という拡大体も考えられる。これも、超越基底はπで、超越次数は１
４．「超越基底は常に存在する。とくに、超越拡大 T/k がその超越基底 B によって T = k(B) と表されるならば、拡大は純超越的であるという。」
　 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7 体の拡大
５．だから、Q(π)は純超越的であり、Q(√2,π)は純超越的ではない。
６．ここまでは、良いだろう？　学部で習う範囲だ
７．そして、この流れで、QからRへの体の拡大を考える。無理数を、代数的数Aと超越数Tに分けて、R＝Q+A+T。集合論として、ここまでは良いだろう
８．この流れで、「超越基底S⊂T」も良いだろう。とすると、上記の１～５の流れでは、Q(√2,・・・（代数基底）、π,・・・（超越基底）)
　（分かると思うが、”√2,・・・”は代数的数Aを表現する基底で、”π,・・・”は超越数Tを表現する基底。なお、代数基底という用語はないかも知れないが、ご容赦）
９．とすると、「QからRへの体の拡大は、純超越的ではない」とおもうだろ？
１０．一方、「 Q(S)＝R 」が成り立てば、「QからRへの体の拡大は、純超越的である」だ。全く逆の主張だ
１１．それでみな納得してんのか？　証明できるのか？

追伸
とくに、ID:u9qoBMX/くんと、ID:rW5UfAymくんのご両名を指名しておく
きちんとした説明や証明が出来なければ、この両名は、私スレ主より「数学レベルが下」の認定だな（＾＾；

165: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)08:16 ID:eSmTZwF/(3/25) AAS
>>162
どうも。スレ主です。
ご謙遜でしょう
まあ、おっちゃんの証明を読んでアドバイスできるので、TAさんで

166(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)08:27 ID:eSmTZwF/(4/25) AAS
>>164
おお！良い突っ込みだね
が、その命題には証明が付けられていない

だから、こうしよう。君が、私よりレベルが上ということをまず立証してください＊）
それができれば、君の主張を認めよう（＾＾；

＊）
これは、「人の実力を判定するには、判定者はその人より、実力が上でなければならない」という定理による
立証は、このスレの流れの中で、何か数学的に気の利いたことを書いてくれ。それで十分だろう。「いいね」と認められたらそれでOK！別にテスト問題で試す気は無いから
それで、”得意な代数でさえ、正規部分群やイデアルすらわかってないのに？ご冗談をw”の成立を認める（＾＾；
なお、代数学は自学だが、微積や複素関数、微分方程式（含む偏微分）は、大学でやったけど（実学の部分だが）

168(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)08:47 ID:eSmTZwF/(5/25) AAS
>>163 補足

１．Q(S)＝R が成立するということは、任意のQ上の代数的数a∈Aに対して、a=f(s1,s2,・・・） | fはQ係数多項式
　　が成り立つということでは？
２．明らかに、Q(√2,π)>>163では、√2＝f(π）という多項式は存在しない ∵両辺を自乗すれば、2＝f(π）^2となって、πが超越数に反する
３．だから、超越次数が有限なら、純超越的かそうでないかの二択しかない
４．超越次数が無限なら？よく分かりません。が、「超越基底 B の濃度はその取り方によらず一定であることが証明できる」という
　 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7 体の拡大
５．ならば、「Q(S)が純超越的かそうでないか、二通りあり得る」って話は、スレ主的には証明要と思うのだが（あんたら自明だとでもいうのかい？）

>>128を真に自明だと理解している人は別として、指摘されて「なるほど」と思った人は、少なくとも私と似たレベルじゃないのかね？（＾＾；

169: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)08:50 ID:eSmTZwF/(6/25) AAS
>>167
線形代数は、復習の必要は認める（＾＾；
が、昔大学でやったからね～（＾＾；

まあ、２１世紀の線形代数はレベルアップしているかも知れないが
ベクトルと行列程度なら

170(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)09:02 ID:eSmTZwF/(7/25) AAS
>>155 ここに戻る

雑魚の雑音はおいといて（＾＾；

TAさんは
”定理4　RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
　↓↑
「 Q(S)がルベーグ非可測になるような超越基底Sの例」
「 Q(S)がゼロ集合になるような超越基底Sの例」
「 Q(S)＝R になるような超越基底Sの例」
は、どれも知らない。”

で、”「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれか”は、どう思っているの？
「 Q(S)＝R 」が成り立てば、Q(S)はルベーグ可測だ。一方、「Q(S)はゼロ集合」のQ(S)もルベーグ可測だ。
一方で、「超越基底 B の濃度はその取り方によらず一定であることが証明できる」という主張がある　 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7 体の拡大
これは、言い換えれば、超越基底 Bは、実質的には一意だと

Q(S)がルベーグ可測な集合になる場合に、Q(S)＝Rの場合は無限大だ。一方で、「Q(S)はゼロ集合」だと。
それ、”ルベーグ可測な集合全体は完全加法族を成”すとか https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E6%B8%AC%E5%BA%A6 ルベーグ測度
と、「超越基底 Bは、実質的には一意」という話と両立する？

171: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)09:06 ID:eSmTZwF/(8/25) AAS
>>155で「おまいら、試されているんじゃないのか？」と言った

私スレ主は、>>128には、すんなり納得できない部分があるんだよね
これが、数学的にきちんと説明ないし証明できるなら、私よりレベル上と認定します！！（＾＾；
では

177: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)16:57 ID:eSmTZwF/(9/25) AAS
>>175
どうも。スレ主です。

”立証は、このスレの流れの中で、何か数学的に気の利いたことを書いてくれ。”>>166に対して、そのカキコか
はい、判定！ ID:RQGyOTCwの数学レベルは、完全にスレ主より下だ。だって、数学的に無価値のカキコだもん

「他スレでも>>1がアホ扱いされててﾜﾛﾀ」？　そいつは、おれと同類だよ。アホの一人だ
証明なしで他人（アホ）の言説を受け入れた時点で、君の数学レベルは見えた！（＾＾；

178: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)17:50 ID:eSmTZwF/(10/25) AAS
>>174
どうも。スレ主です。メンターさん、ありがとう

>>176
どうも。スレ主です。
TAさんの”、測度の等式のつもりだった”>>172が正解だったってことだね

179(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)17:59 ID:eSmTZwF/(11/25) AAS
>>174
定理 (Steinhaus theorem)　か、和文では適当な文献を見つけることができなかったな
で、英文 https://en.wikipedia.org/wiki/Steinhaus_theorem
Statement
Let A be a Lebesgue-measurable set on the real line such that the Lebesgue measure of A is not zero. Then the difference set
A-A={a-b | a,b∈ A } ,
contains an open neighbourhood of the origin.

要は、数直線上のルベーグ可測集合の要素の差集合は、ある原点の周りの開集合を含むか
証明もあるね

Steinhaus（シュタインハウス）の名前だけは、どこかで見た気がするがこんな定理じゃなかったな

180(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)18:11 ID:eSmTZwF/(12/25) AAS
>>179 つづき
ここは初学者も来るので、正確に書くと

>>174
・ K⊂R は体とする。このとき、「 Kはルベーグ非可測」「 Kはゼロ集合」「 K＝R 」のいずれかが成り立つ。
　 ↓
・ K⊂R は体とする。このとき、「 Kはルベーグ非可測」、Kが可測で「 Kはゼロ集合」「 m(K)＝m(R) 」(mは可測関数)のいずれかが成り立つ。

>>128
定理4　RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
　 ↓
定理4　RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」、Q(S)が可測で「Q(S)はゼロ集合」「 m(Q(S))＝m(R) 」(mは可測関数)のいずれかが成り立つ。

だな、多分

182(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)18:20 ID:eSmTZwF/(13/25) AAS
>>174 つづき
>よって、(－ε,ε) ⊂ Q(S) である。Q(S)は体だから、Q(S)＝R となることが簡単に示せる。
>というわけで、実はQ(S)だけでなく、一般の体でも同じことが言える。

英文 https://en.wikipedia.org/wiki/Steinhaus_theorem で、
”Consequence
A consequence is, that any measurable proper subgroup of (R,+) is of measure zero.”がそれに相当するのか・・・

最初、この英文を読んだときには、意味が分からなかったが、メンターさんの証明で意味が分かった
とすると >>174の”K⊂R”を強く読まないといけないね

183: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)18:22 ID:eSmTZwF/(14/25) AAS
>>181
どうも。スレ主です。
メンターさん、ありがとう
なるほど、その点は後で

184(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)18:37 ID:eSmTZwF/(15/25) AAS
>>181
>「 Q(S)＝R 」はそのまま「 Q(S)＝R 」の意味であって、
>「 m(Q(S))＝m(R) 」などという意味ではない。
>(－ε,ε) ⊂ Q(S) が言えた時点で即座に Q(S)＝R が従う。Q(S) は体だから。

ここを少し深掘りする

１．>>163,>>168で書いたように、普通の教科書の拡大体の理論では、代数拡大があって、次に超越拡大という順で教える
２．で、超越次数が有限なら、純超越的かそうでないかの二択しかない。つまり、「Q(√2,π)は純超越的ではない」といえる
３．では、拡大Q(S)は？　純超越的かそうでないか？定義から明らかに、Qには超越数しか添加していない。だから、定義からすれば純超越的と言えそうだ
４．が、Q(S)がルベーグ可測>0の場合は、Q(S)＝Rとなり、純超越的ではないとなる。Qには超越数しか添加していないにも関わらず

「 Q(S)＝R になるような超越基底Sの例」知らない>>128は、そういう意味ですかね？

188(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)19:48 ID:eSmTZwF/(16/25) AAS
>>185-187
どうも。スレ主です。
メンターさん、TAさん、どうもコメントありがとう

私の理解も全く同じです
”Q(S)=Rの必要十分条件は、
・Q上の超越数がすべて代数的独立で、かつ
・Q(S)が体の演算によりQ上の代数的数をすべて生成する”

で、さらに一歩進めて、そんなこと＊）が果たして可能なのか？と

190(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)20:06 ID:eSmTZwF/(17/25) AAS
>>188 つづき

そんなこと＊）とは

１．Q上の超越数がすべて代数的独立だから、ある有限の組み合わせ{s1,s2,・・・sn}⊂Sで、例えば√2=f(s1,s2,・・・sn)と代数的に実現できたとすれば
　　f(s1,s2,・・・sn)は、Q係数の多項式で、２＝f(s1,s2,・・・sn)^2となって、{s1,s2,・・・sn}が代数的独立に反するから（>>168の２に同じ）
２．だから、超越基底の無限個の組み合わせを考える必要がある
３．かつ、それは√2のみならず、すべての代数的な無理数すべてで実現できなければならない

正直よく分からないが、簡単に実現できる話でもないような気がする

つまり
Qには超越数しか添加していないにも関わらず、Q(S)＝Rとできるとすれば、
任意の代数的な無理数が、超越基底Sの要素からなるQ係数多項式（それは超越基底の無限個を組合せを要する）で表現できなければならない
はたして、それが実現可能なのか？実現不可能なら、Q(S)＝Rとはできないので、このケースはありえないことになる

191(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)20:56 ID:eSmTZwF/(18/25) AAS
>>189
どうも。スレ主です。
TAさん、コメントありがとう

「不自然な感じがするよね」に同意

>>190に書いたが、”Q(S)＝R”は実現困難かと思う
というか、”超越基底Sの要素からなるQ係数多項式（それは超越基底の無限個を組合せを要する）”を許容するのか・・・

「超越基底の無限個を組合せて、代数的な無理数を実現する」まで許すと、従来考えている体の拡大の範囲を逸脱するような気がするんだが・・・

192: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)21:14 ID:eSmTZwF/(19/25) AAS
>>182 ここに戻る

ここは初学者も来るので

英文 https://en.wikipedia.org/wiki/Steinhaus_theorem で、
”Consequence
A consequence is, that any measurable proper subgroup of (R,+) is of measure zero.”

”proper subgroup ”は分かるよね
だから、これと>>128の定理4　RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
で、「Q(S)はゼロ集合」は、部分集合の場合（”proper subgroup ”に相当する場合）だね

194(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)21:27 ID:eSmTZwF/(20/25) AAS
>>76&>>78-79 ここに戻る

ここは初心者も来ると思うので、整理しておきたい

>代数的数全体の体Q~ から複素数体Cへの（超越）拡大を考えると、Q~（S）＝Cとなる

これはご納得頂けましたか
Q(S)＝Rも可能性ありと認めたら、Q~（S）＝Cも認めるだろ？

195: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)21:33 ID:eSmTZwF/(21/25) AAS
>>193
有理式ならOKだが、それは多項式に直せるよ
分母の式を両辺に掛ければ良い

>級数を許してしまうといろんなものが有理数で表されてしまうよね。

そうだよね。同意だ
だから、Q(S)＝Rは実現不可能という気がする

197(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)21:35 ID:eSmTZwF/(22/25) AAS
>>194

ところで、『超越基底ならばゼロ集合』に対するアプローチは、どんなだったの？
簡単に開示してもえると勉強になると思う

199(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)21:49 ID:eSmTZwF/(23/25) AAS
>>120 ここに戻る
>基本的には、非可算な対象を可算個の任意に小さい区間では覆えないよ。

前スレ、261以下267まで、第二可算公理などをご参照。可能です

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止](c)2ch.net
2chｽﾚ:math
261 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/11/01(日) 16:59:07.49 ID:KxTJyOv3

＜キーワード：位相可算公理＞
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第一可算的空間 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/第一可算的空間
数学の位相空間論において、第一可算空間（だいいちかさんくうかん、英: first-countable space）とは、"第一可算公理"を満たす位相空間のこと。位相空間 X が第一可算公理を満たすとは「各点 x が高々可算な近傍からなる基本近傍系（局所基）をもつこと」を ...
省6

201(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)22:04 ID:eSmTZwF/(24/25) AAS
>>198
TAさん、どうも。スレ主です。
さっそくのレスありがとう

シュタインハウスの定理ね
メンターさんが使ったSteinhaus theorem>>174 >>179だね

”補題2：任意のハメル基底Hは正のルベーグ測度をもつ部分集合をもたない。”、”補題2は有名”か・・・
そう言われれば、それを聞いたことがある気もするが、浮かばなかったね・・・（＾＾；

202(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)22:08 ID:eSmTZwF/(25/25) AAS
>>200
TAさん、どうも。スレ主です。
さっそくのレスありがとう

まあ、ここは初心者も来ると思うので、”基本的には、非可算な対象を可算個の任意に小さい区間では覆えないよ。”が一人歩きするとまずいから、第二可算公理と併読して貰う必要ありという趣旨です

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