[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む8 (779ﾚｽ)
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728(1): 2014/08/10(日)11:41 AAS
>>713 関連
http://d.hatena.ne.jp/jurupapa/20120418/1334765495
Maximaでつづる数学の旅 2012-04-18 素数個数関数のリーマンの明示公式 完全版
抜粋
今回は素数個数関数π(x)のリーマンによる明示公式をきちんと計算して、グラフに描いてみます。
青い線が赤い線に向かってかなりガタガタになって来たのが分かります。ゼータ関数の自明でない零点をもっと計算に組み入れることにより、この部分の精度を上げることができます。
大域的には滑らかな線で十分近似出来ており、それは周期項を省いた計算で十分です。
周期項は正確に素数のところで、関数をジャンプさせようとする働きがあることが分かります。
つまり素数の精密な位置はゼータ関数の自明でない零点が知っている、、、ことになります。
729(1): 2014/08/10(日)11:46 AAS
>>728 関連
http://d.hatena.ne.jp/jurupapa/20120425/1335364217
Maximaでつづる数学の旅 2012-04-25 リーマンの明示公式、大変でした、(その３) ゼータ関数の自明でない零点
抜粋
今回の明示公式の計算ではこの計算は100項しか計算していません。
そしてこの範囲(実際にはもっと広い範囲)ではリーマン予想が成立していることは確認されています。
つまり上記の直線上にこの範囲の非自明な零点はある訳です。
そして、その虚数部を求めるやり方は、各種文献にも載っていますし、MathematicaにはZetaZero[]という関数として実装されているそうです。
調べてみると数学者でゼータ関数や素数についての深い研究を行ったアンドリューオドリッコさんが、ご自身のホームページでゼータ関数の零点の表を公開しているのです (Andrew Odlyzko: Tables of zeros of the Riemann zeta function) 。
http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/index.html
このページの最初のリンクにある、100,000個の零点の表の先頭に、こんな感じでMaximaのコードを数行付け加えて、少し細工をすれば、rho[i]の出来上がりです。
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