[過去ﾛｸﾞ] 数学＞＞＞＞物理 (412ﾚｽ)
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19(2): 2011/05/24(火)20:49 ID:gXh2zNTE(1) AAS
選択公理がウソっぽい。ウソを公理にしてウソを導いただけかと。
20(2): 2011/05/25(水)00:25 ID:??? AAS
>>19
> 選択公理がウソっぽい。ウソを公理にしてウソを導いただけかと。
同意。
少なくとも現代数学自身の為の公理系と物理理論の記述言語としての数学の為の公理系が同じでなければならない必然性はない。
例えばどの様な大きな集合をも整列可能としてしまう普通の選択公理とは矛盾する決定性公理を採用した集合論に基づく数学では
Banach-Tarskiの逆理は導かれないどころか、全実数の集合Ｒの任意の部分集合はルベーク可測となる。
しかも決定性公理は通常の無制限な選択公理とは矛盾するが、加算集合に限定した選択公理、つまり加算選択公理を定理として
決定性公理を採用した集合論の公理系から導くことは可能だ。
もっとも、選択公理を物理の為の数学に採用すべきか否か以前に、物理的な時空はべったりと続いた連続体か？という
根本的な疑問があるわけだが。
21(1): 2011/05/25(水)00:31 ID:??? AAS
>>20
> >>19
> > 選択公理がウソっぽい。ウソを公理にしてウソを導いただけかと。
20に１点だけ書き忘れたので補足しておく。
選択公理自体の「信頼性」、つまり選択公理を採用した集合論公理系の無矛盾性については、決定性公理を採用するよりもずっと高い。
選択公理を採用した集合論公理系をＺＦＣと書きそれから選択公理を除いた公理系をＺＦと書く事にすると、
ＺＦが無矛盾 ならば ＺＦＣは無矛盾
という事が証明されている。
つまり公理系の無矛盾性という集合論に対する信頼性に関して、選択公理は悪さを全くしないという事が保証されている。
決定可能性公理では上記に相当する事、つまり
省3
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