箱入り無数目を語る部屋19 (164ﾚｽ)
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1(2): 03/28(木)05:18 ID:2FwFk9ii(1/5) AAS
2chｽﾚ:math
前スレ 箱入り無数目を語る部屋18
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数学セミナー201511月号「箱入り無数目」
設定
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
省2
2: 03/28(木)05:20 ID:2FwFk9ii(2/5) AAS
私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
省5
3: 03/28(木)05:20 ID:2FwFk9ii(3/5) AAS
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが， とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列s^1,s^2，・・・，s^100を成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
第1列〜第(k-1) 列，第(k+1)列〜第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
開けた箱に入った実数を見て，代表の袋をさぐり， s^1〜s^(k-l),s^(k+l)〜s^100の決定番号のうちの最大値Dを書き下す.
いよいよ第k列 の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける：s^k(D+l)， s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・.いま
省7
4: 03/28(木)05:26 ID:2FwFk9ii(4/5) AAS
なお、某スレッド
2chｽﾚ:math
の自称「スレ主」ことマリグナント・ナルシシズムは
以下のように吠え続けている
「箱入り無数目は間違ってる
箱はみな独立なのだから
他の箱の中身をいくら見たって
箱の中身がわかるわけない
当てる確率は０！」
悪性自己愛
省8
5: 03/28(木)06:29 ID:2FwFk9ii(5/5) AAS
任意に列 s∈R^N をとる
s をその尻尾同値類の代表列 r(s) と比較した場合
s[n]＝r(s)[n]でない n はたかだか有限個である
d(s)を、それ以上のnでみなs[n]＝r(s)[n]となる n の最小値とする
（このような数は必ず存在する）
そして集合S＝{s1,…,s100}に対して、siを除いた集合をS_x(si)とし
集合Sの各列s∈Sのd(s)の最大値をd_max(S)とすると
d(si)<=d_max(S_x(si)) が成立しないsiは、100列中たかだか1つである
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