[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
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237(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)09:36 ID:x1AjdVpC(1/23) AAS
>>116
>ラグランジュ分解式=指標和(character sum)であることが説明されてない本は素人本だね。
>わたしは大学の頃自分で気づいたが、後で見たらラングだったかの本にはちゃんと書いてあった。
へー
google検索 "character sum Lagrange resolvent"
で下記２件ヒット
ラングの本はしらんけど
１）
"P13 [6.7] p = 11 and order m = 5 Since ω = ω5
The constant term 11 = (2^5 + 1)/(2 + 1) is the norm of qo = ω + 2, so
省13
238(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)09:36 ID:x1AjdVpC(2/23) AAS
>>237
つづき
4. Ambiguity by units
P8
Let qo generate p, the ideal lying under P in Z[ω], where P defines the Kummer (-Teichm¨uller) character.
Identify (Z/m)× with the Galois group of Q(ω) over Q, which we know acts transitively on primes over p in Z[ω].
6. Numerical examples
P13
[6.7] p = 11 and order m = 5 Since ω = ω5 satisfies ω^4 + ω^3 + . . . + ω + 1 = 0,
0 =((ω + 2) - 2)^4+((ω + 2) - 2)^3+ . . . +((ω + 2) - 2)+ 1 = (ω + 2)^4 + . . . + 11
省15
239(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)09:36 ID:x1AjdVpC(3/23) AAS
>>238
つづき
２）
"P7 1.5. Minimal and characteristic polynomials and Resolvents"
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00602882/document
Computing the Lagrange resolvent by effectiveness of
Galois Theorem
Ines Abdeljaoued, Faical Bouazizi, Annick Valibouze
HAL Id: hal-00602882
Preprint submitted on 9 Jul 2011
省20
241: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)09:57 ID:x1AjdVpC(4/23) AAS
>>234
レスありがとう
>単位元だけからなるいわゆる自明な群は単純群と呼ばないのかな。
｛e｝を、自明な単純群と呼ぶのもありと思う
テキスト（教科書）では、各自の流儀と思います
>26個の例外型単純群それぞれに異なる素粒子が対応しているというような
>単純な話ではないのだな。。。
ですね
超弦理論 Superstring theory で出てくる群のリスト表があるけど
U(1)、SO(32)、E8 × E8 が挙っていますね
省26
242: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)10:01 ID:x1AjdVpC(5/23) AAS
>>235-236
必死だな
・非可換でも、ラグランジュ分解式は使える。ガロア第一論文にある
・再録 >>231"４）5次以上の方程式論で、例えば、5次で可解群で、位数20のフロベニウス群や、位数10の二面体群は非可換だよ
でも、非可換でも、ラグランジュ分解式だよね
この場合は、ポントリャーギン双対→離散フーリエ変換の筋に乗らない気がするよ"
以上ｗ
245(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)10:40 ID:x1AjdVpC(6/23) AAS
>>240
必死だなｗ
>正月からキーワードで検索した結果を一読すらせずコピペするマウントヒヒ1
一読というか、チラ見したよ
>>238より
”The constant term 11 = (2^5 + 1)/(2 + 1) is the norm of qo = ω + 2, so
11 = (ω + 2)(ω^2 + 2)(ω^3 + 2)(ω^4 + 2)”
とp=11で、4つに分かれるんだ
これ、>>64 (参考)
https://ror.hj.to/ja/issei/entries/3493-fcf68e7d004ec28d1b29db440ee69b38/node
省21
247: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)10:52 ID:x1AjdVpC(7/23) AAS
>>243-244
なるほど
それは正しそうだね
Gを可解群に限定すれば、交換子群[G,G]なしで説明できるかな
>そのべき根の構成はアーベル群(=G/[G,G])
>の指標による指標和=ラグランジュ分解式
なるほど。但し
ラグランジュ分解式は、one of them であって、
使える式は、ラグランジュ分解式一つに限定されないだろうが
253(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)11:52 ID:x1AjdVpC(8/23) AAS
>>246
>アーベル群の指標とは有限アーベル群からC^×への準同型写像のことであり
下記の「乗法的指標」のことかな？ 指標は、ラグランジュ分解式限定じゃないよね
（Other uses of the word "character" are almost always qualified.とあるね）
ついでに聞いていいかい？
・ラグランジュ分解式を、指標と見ることの具体的利点は何か？ 特にないけど、教養として知っておけかな
・同様、フーリエと見ることの具体的利点は何か？ 特にないけど、教養として知っておけかな
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Character_(mathematics)
Character (mathematics)
省7
254: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)11:53 ID:x1AjdVpC(9/23) AAS
>>253
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%A8%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
指標（しひょう、英: character）とは、群から（複素数全体のような）体へのある特殊な関数のことを言う。少なくとも二つの、異なるが重複もする意味が存在する。
乗法的指標
群 G 上の乗法的指標（あるいは線形指標または単純に指標）とは、G からある体（通常は複素数体）の乗法群への群準同型である (Artin 1966)。G を任意の群としたとき、そのような準同型の集合 Ch(G) は点ごとの乗算の下でのアーベル群をなす。
この群は G の指標群と呼ばれる。しばしば、「単位的」な指標のみが考慮され、したがって像は単位円の中にある。このとき、その他の準同型は準指標 (quasi-character) と呼ばれる。この定義の特殊な場合として、ディリクレ指標がある。
乗法的指標は線形独立である。つまり Χ_1,Χ_2, ・・・ , Χ_n をある群 G 上の異なる指標としたとき、a_1Χ_1+a_2Χ_2 + ・・・ + a_n Χ_n = 0 であるなら a_1=a_2=・・・=a_n=0 が成立する。
表現の指標
詳細は「指標理論」を参照
省3
255(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)11:58 ID:x1AjdVpC(10/23) AAS
>>251
>すべてのχ∈A^についての(χ,θ)から
>（今で言うフーリエ逆変換を取れば）アーベル方程式の根θの
>べき根表示が一挙に得られるという話。
ありがと
では
前スレより
2chｽﾚ:math
種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
省11
257(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)14:08 ID:x1AjdVpC(11/23) AAS
>>256
どうもありがとう
>さらに、F'はFのアーベル拡大だから、すべての根を無理矢理に巾根表示の形式で
>表すことが出来るにちがいないが、それをやったとしたらはたしてなにか良い
>ことがあるのだろうか？
かなり同意
１）多分、巾根は「人類が古代(エジプトで？)最初に得た高等関数」なのでしょうね
平方根が、面積やピタゴラスの公式の逆から得られる
立方根は、体積の1/3乗から
でも、5乗根になると、普段使うことないです
省13
262: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)15:16 ID:x1AjdVpC(12/23) AAS
>>257 補足
> ４）で、問題>>255で三角関数表示で「cos(2π/11)+isin(2π/11) 」いいのならば（実際は逆数1/cos(2π/11)ですが）
いまさら、自明でトリビアですが
Qにある無理数αを添加した体Q(α)には、αの逆元1/αが含まれる
逆もまた真
よって、Q(α)＝Q(1/α)です
なので、>>255 より Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)) の場合
Π_{k=1}^{5}(x-cos(2kπ/11)) を考える方が、やりやすい
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
で、x=1/X （つまりX＝1/x＝cos(2π/11)であり）
省8
264(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)15:18 ID:x1AjdVpC(13/23) AAS
>>261
ありがと
では
前スレより
2chｽﾚ:math
種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。
省9
265(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)15:52 ID:x1AjdVpC(14/23) AAS
>>264 補足
下記いいね
「 x^5 + x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0 の解
α = 2 cos2π/11 」
なんだね
α = cos2π/11 より係数が小さくなるね
なるほどね
(参考)
http://www1.kcn.ne.jp/~mkamei/
亀井のホームページ
省32
266(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)15:53 ID:x1AjdVpC(15/23) AAS
>>265
つづき
本稿で行ってみたのは次の事項です．
・ Galois 群 Gal(K/Q) を決定する，（実は D5）
・ 2 次の部分体 F を決定する．
・ f(x) = 0 の一つの解を α とするとき，他の解を F(α) の元として表す．
・ α を巾根表示する．
・ K を F の類体とみて，対応する射線 m と同型 Gal(K/F) ? Am/Hm を決定する．
・ K/Q で分岐する素数 2, 5 の素因子に対し，その分解群，惰性群，分岐群を決定する．
・ F の絶対類体を決定する．
省20
267(7): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)16:42 ID:x1AjdVpC(16/23) AAS
>>266
>（Kamei_HP:http://www1.kcn.ne.jp/~mkamei/math/11th_root.pdf）
これ、下記です
なんか、やろうとしていたこと、全部か多分それ以上の結果が下記にあるね
よく纏まっている
(参考)
http://www1.kcn.ne.jp/~mkamei/math/11th_root.pdf
MeBio 数学テキスト (2014.12.27 20:42)
1 の n 乗根の巾根表示
?n = 11, 13, 7?
省17
268(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)16:42 ID:x1AjdVpC(17/23) AAS
>>267
つづき
§ 4 β およびその共役元
L/F は Kummer 拡大なので，適当な a ∈ F を用いて L = F(
√5 a) と表示することができる．a は通常通り次
のようにすれば求められる．
α0, α1, α2, α3, α4 を次のように定義する．
略
これら５つの F 上共役な元を用いて β を
β = α0 + α1η + α2η^2 + α3η^3 + α4η^4
省25
269: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)16:56 ID:x1AjdVpC(18/23) AAS
>>263
> ま、本当のこといえば、複素数のlogとexpがあればいいが
> そんな都合のいいもん、EXCELにはないので、三角関数と逆三角関数が必要
EXCEL、複素数
なんか聞いたことがあるよ
と検索すると下記ね
（要するに、知っているから検索できる。私のコピペも同じだよ）
(参考)
https://www.youtube.com/watch?v=b44sbEszeEc
【Excel関数上級編】Excelで複素数の自然対数を計算するIMLN（イマジナリー・ログナチュラル）関数
省32
273(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)19:50 ID:x1AjdVpC(19/23) AAS
>>267 追加引用
http://www1.kcn.ne.jp/~mkamei/math/11th_root.pdf
MeBio 数学テキスト (2014.12.27 20:42)
1 の n 乗根の巾根表示
n = 11, 13, 7
第 1 章
1 の 11 乗根の巾根表示
P7
§ 8 紛れのない α の表示
P8
省15
276: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/01(日)20:12 ID:x1AjdVpC(20/23) AAS
>>273 補足
これが、知りたかったんだ
・β^5 =-η^4(η + 2)^2(η^2 + 2)(η^3 + 2)^4(η^4 + 2)^3 ∈Q(η)
・α =1/5{-1 + β +η^4(η + 2)(η^2 + 2)β^2 /11 +η^2(η + 2)(η^2 + 2)^2(η^4 + 2)β^3 /121 +η(η + 2)^2(η^2 + 2)^3(η^4 + 2)β^4 /1331}
・α∈K(b^1/5)、b∈Q(η) ｜ 基礎体K＝Q(η)、b＝β^5 （η = exp2πi/5= cos2π/5+ isin2π/5 1の5乗根）とおく
Kummer 拡大 一目瞭然！
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