[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋5 (1002ﾚｽ)
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663: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/11/20(日)18:15 ID:q2ItwJVs(14/16) AA×
>>662

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86

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663: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/11/20(日) 18:15:45.06 ID:q2ItwJVs >>662 つづき (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 選択公理 公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた[1]。 歴史 集合論の創始者ゲオルク・カントールは、選択公理を自明なものとみなしていた。 実際、有限個の集合からなる集合族であれば、そのそれぞれの集合の中から順に1つずつ元を選び出し、それらを併せて集合とすればよいのであるから、このような操作ができることは自明である。 しかし、ツェルメロによる整列可能定理の証明に反論する過程で、エミーユ・ボレル、ルネ＝ルイ・ベール、アンリ・ルベーグ、バートランド・ラッセルなどが選択公理の存在に気付き、新たな公理であることが認識されるようになった。確かに、無限個の集合からなる集合族の場合、上のような操作を想定しても「順に選び出す」操作は有限回で終了することはないのだから、このような操作を行えるかどうかは必ずしも明らかではない。 選択公理は、それ自身もまたその否定もほかの公理からは証明できないものであること、すなわち独立であることが示された（クルト・ゲーデル、ポール・コーエン）が、これは公理的集合論における大きな成果であろう。なお、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）に一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できる[注釈 1]。従って、一般連続体仮説と選択公理は何れもZFとは独立だが、前者の方がより強い主張であると言える。ZFに選択公理を加えた公理系をZFCと呼ぶ。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1667737961/663
つづき 参考 選択公理 公理的集合論における公理のひとつでどれも空でないような集合を元とする集合すなわち集合の集合があったときにそれぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである年にエルンストツェルメロによって初めて正確な形で述べられた 歴史 集合論の創始者ゲオルクカントールは選択公理を自明なものとみなしていた 実際有限個の集合からなる集合族であればそのそれぞれの集合の中から順につずつ元を選び出しそれらを併せて集合とすればよいのであるからこのような操作ができることは自明である しかしツェルメロによる整列可能定理の証明に反論する過程でエミーユボレルルネルイベールアンリルベーグバートランドラッセルなどが選択公理の存在に気付き新たな公理であることが認識されるようになった確かに無限個の集合からなる集合族の場合上のような操作を想定しても順に選び出す操作は有限回で終了することはないのだからこのような操作を行えるかどうかは必ずしも明らかではない 選択公理はそれ自身もまたその否定もほかの公理からは証明できないものであることすなわち独立であることが示されたクルトゲーデルポールコーエンがこれは公理的集合論における大きな成果であろうなおツェルメロフレンケルの公理系に一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できる注釈 従って一般連続体仮説と選択公理は何れもとは独立だが前者の方がより強い主張であると言えるに選択公理を加えた公理系をと呼ぶ 引用終り 以上

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