[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)

スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/

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300: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/30(日) 13:41:36.70 ID:6rtRwLi2 以下の2つの定理はよく知られた定理であるが、ここでは念のため、証明を与える。 定理1：(X,F,ν)は有限測度空間で、ν^* はνから生成される外測度とする。 このとき、任意の A⊂X に対して、ある B∈F が存在して、A⊂B かつ ν^*(A)＝ν(B) が成り立つ。 定理2：(X,F,ν)は有限測度空間で、ν^* はνから生成される外測度とする。 A_n⊂X (n≧1) は広義単調増加とする。A＝∪[n＝1〜∞] A_n と置けば、A_n ↑ A (n→∞) が 成り立つわけだが、実は lim[n→∞] ν^*(A_n)＝ν^*(A) が成り立つ。 つまり、ν^* は(必ずしも可測とは限らない)一般の単調増加集合列に対する上への連続性を満たす。 (測度から生成されているとは限らない一般の外測度では、必ずしもこれは成り立たない。) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/300

303: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/30(日) 14:02:11.10 ID:6rtRwLi2 準備はここまでにして、本題に戻る。 P から生成される外測度 P^* に対して、P^*(A) ≧ 99/100 が成り立つことを示す。 まず、>>300の定理1により、あるB∈Fが存在して、A⊂B かつ P^*(A)＝P(B) が成り立つ。 次に、s∈[0,1]^N を任意に取る。A, B の s における断面 A_s, B_s について、 A⊂B により A_s ⊂ B_s が成り立つ。さらに、自明に A_s, B_s ∈ pow(I)＝G である。 よって、A_s, B_s は確率空間 (I, G, η) において可測であり、その確率 η(A_s), η(B_s) が定義できる。 A_s ⊂ B_s だったから、η(A_s)≦η(B_n) である。さらに、η(A_s)≧99/100 なのだった。 よって、η(B_n)≧99/100 である。以上により、 (★) ∀s∈[0,1]^N s.t. η(B_s) ≧ 99/100 が言えたことになる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/303

305: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/30(日) 14:09:19.95 ID:6rtRwLi2 こうして P^*(A) ≧ 99/100 が示せたわけだが、次は決定番号 d について考える。 まず、(d∈N) ＝ [0,1]^N なので、(d∈N) は可測であり、確率 P(d∈N) が定義できて、 しかも P(d∈N)＝1 が成り立つ。次に、(d≦m) は m≧1 に関して単調増加であり、 (d≦m) ↑ [0,1]^N (m→∞) が成り立つ。よって、測度 P の上への連続性から、 lim[m→∞] P(d≦m) ＝ 1 が成り立つことが期待される。しかし、(d≦m) は非可測なので、P(d≦m) は定義できない。 しかし、P から生成される外測度 P^* について、P^*(d≦m) なら普通に定義できる。実は、 lim[m→∞] P^*(d≦m) ＝ 1 が成り立つ。実際、(d≦m)↑[0,1]^N (m→∞) により、P^* の上への連続性(>>300の定理2)が使えて lim[m→∞] P^*(d≦m) ＝ P^*([0,1]^N) ＝ P([0,1]^N) ＝ 1 である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/305

313: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/30(日) 15:01:59.77 ID:6rtRwLi2 >>311 その点については>>300で指摘済み。 ＞以下の2つの定理はよく知られた定理であるが、ここでは念のため、証明を与える。 よく知られた定理なので、別に証明を書く必要はないのだが、念のため証明しておいただけ。 別に読み飛ばしても構わない。 >>300の定理1,2が成り立つことは事実だから、その点に関してだけ合意があれば十分。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/313

406: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/31(月) 22:58:16.37 ID:V6kL7bYX 任意の k≧1 に対して、 (d≦k)∩[0,1)^N ＝ [0,1)^k(T^[k]∩[0,1)^N) が成り立つことが確かめられる。特に、 μ_N^*((d≦k)∩[0,1)^N) ＝ μ_N^*([0,1)^k(T^[k]∩[0,1)^N)) ＝ μ_N^*(T^[k]∩[0,1)^N), μ_{N*}((d≦k)∩[0,1)^N) ＝ μ_{N*}([0,1)^k(T^[k]∩[0,1)^N)) ＝ μ_{N*}(T^[k]∩[0,1)^N) である。[0,1)^N∈F_N かつ μ_N([0,1)^N) ＝ 1 ＝ μ_N([0,1]^N)により、>>392の最後の定理が使えて μ_N^*(d≦k) ＝ μ_N^*(T^[k]),　μ_{N*}(d≦k) ＝ μ_{N*}(T^[k]) である。(d≦k) ↑ [0,1]^N なので、μ_N^* の上への連続性(>>300の定理2)により lim[k→∞] μ_N^*(d≦k) ＝ 1 であり、よって lim[k→∞] μ_N^*(T^[k]) ＝ 1 である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/406

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