[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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392(4): 2022/10/31(月)22:32 ID:V6kL7bYX(19/47) AAS
以下の定理は、証明は全て省略する。

定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。νから生成される外測度 ν^* と内測度 ν_*について、
ν_*(X−A)＝ν(X)−ν^*(A) (∀A⊂X) が成り立つ。

定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。その完備化を(X,F_w,ν_w)と置く。
このとき、A⊂X に対して、A∈F_w が成り立つことと ν^*(A)＝ν_*(A) が成り立つことは同値である。

定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。その完備化を(X,F_w,ν_w)と置く。
よって、νから生成される外測度 ν^* と、ν_w から生成される外測度 ν_w^* の2種類を得るが、
実は ν^*(A)＝ν_w^*(A) (∀A⊂X) である。すなわち、ν^* ＝ ν_w^* である。
同じく、νから生成される内測度 ν_* と、ν_w から生成される内測度 ν_{w*} の2種類を得るが、
やはり ν_* ＝ ν_{w*} である。

定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。その完備化を(X,F_w,ν_w)と置く。
A⊂X に対して、ν^*(A)＝0 が成り立つことと [A∈F_w かつ ν_w(A)＝0] が成り立つことは同値である。

定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。M⊂X は ν^*(M)＝0 を満たすとする。
このとき、任意の A⊂X に対して ν^*(A−M) ＝ ν^*(A) である。

定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。M∈F は ν(M)＝ν(X) を満たすとする。
このとき、任意の A⊂X に対して、ν^*(A∩M) ＝ ν^*(A) かつ ν_*(A∩M) ＝ ν_*(A) である。

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