純粋・応用数学（含むガロア理論）8

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164: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2021/05/19(水) 07:55:25.17 ID:H7LP/xSH

>>163
つづき

定 理 13.1 自然数 (N, >=<) は整列集合である.

一方, 実数 R, 有理数 Q, 整数 Z は通常の大小関係 >=< によって全順序集合で
あるが, いずれも整列集合ではない. それらには最小元がないからである. だか
らと言って, 実数や有理数を 0 以上のものに限っても整列集合にはならない. た
とえば, X = [0, +∞) の部分集合 A = (0, +∞) には最小元が存在しない.
ここで, 自然数を並び替えて得られる順序の例をいくつか考えておこう.

例 13.2 自然数 x, y ∈ N に対して, x ≧ y のとき x ≦' y と定義すれば, 全順序
集合 (N, ≦') が得られる (問 12.6). 要は,
. . . 4 3 2 1
のように, 自然数を通常とは逆順に並べることに相当する. この配列には min N
が存在しないから, (N, ≦') は整列集合ではない.

例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考
え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序
に関して自然数を書き並べれば,
1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2)
のような配列が得られる. こうして得られる全順序集合 (N, ≦1) は整列集合に
なる. 実際, 任意の空でない部分集合 A ⊂ N が与えられたとき, A が奇数を含
めば A に含まれる奇数のうち最小のものが min A を与え, A が偶数のみから
なるときは, A に属する偶数のうち最小のものが min A を与える.
次に, 整列集合の簡単な性質を述べておく.
定 理 13.5 整列集合の部分順序集合は整列集合である.

ｐ5
13.2 整列集合の基本定理
本節では, 整列集合が 2 つ与えられたとき, どちらか一方は他方を延長したも
のであるという基本定理を証明する. そのために切片という概念が重要になる.
(X, ≦) を整列集合とする. a ∈ X に対して
X?a? = {x ∈ X | x < a}
を X の a による切片という.

定 理 13.14 整列集合 X, Y に対して次の 3 つの場合のうち, いずれか 1 つだ
けが成り立つ.
(i) X と Y は順序同型である.
(ii) X と Y の切片が順序同型である.
(iii) X の切片と Y が順序同型である.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/164

165: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2021/05/19(水) 07:55:52.68 ID:H7LP/xSH

>>164
つづき

13.3 整列可能定理
与えられた集合に適当な順序を定義して整列集合にできるだろうか. 直感的
には, 集合の元を 1 つずつ順に並べればよいわけで, 有限集合に対してなら何ら
問題なくできる. しかし, 無限集合に対してはどうだろうか. カントルはできる

と予想し, ツェルメロが証明を与えた.
1) 実際, ツェルメロは選択公理から整列
可能定理を導いたが, ここではツォルンの補題を用いて証明しよう.2)

定 理 13.15 (整列可能定理) 任意の集合は, 適当な順序を定義することで
整列集合にできる.

証 明 X を任意の集合とする. X の部分集合 A とその上の整列順序 ≦A を
組にした (A, ≦A) の全体を M とする. X の部分集合 A = Φ 上には整列順序が
あるので, M 自身は空ではない. (A, ≦A),(B, ≦B) ∈ M に対して, ある b ∈ B
が存在して A = B?b? であって, A 上の順序 ≦A が (B, ≦B) の部分順序集合と
しての順序と一致するとき, (A, ≦A) < (B, ≦B) と定義する. この二項関係 <
は M 上の等号なしの順序となり, 順序集合 (M, ≦) が得られる.
(M, ≦) がツォルン集合であることを示す.
略
以上によって, (M, ≦) はツォルン集合である. そうすれば, ツォルンの補題に
よって, (M, ≦) には極大元が存在する. それを (S, ≦S) としよう. もし S≠ X
であれば, s ∈ X＼S をとって, S? = S ∪ {s} とおく. S? 上に順序 <S? を
x <S? y ⇔ (i) x, y ∈ S, x <S y, または (ii) x ∈ S, y = s
のように定義すると, (S, ? ≦S?) は整列集合になる. つまり, (S, ? ≦S?) ∈ M であり,
(S, ≦S) < (S, ? ≦S?) が成り立つから, (S, ≦S) が極大元であることに反する. し
たがって, (M, ≦) の極大元は X とその上の整列順序を組にしたものである. 言
い換えれば, X 上に整列順序が存在する.
QED

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/165

168: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2021/05/19(水) 07:57:02.74 ID:H7LP/xSH

>>167
つづき

http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-11_AC.pdf
GAIRON-book : 2018/6/4(8:44)
第11章 選択公理
集合論が発展する過程で, 数学の深みの中から現れた選択公理は大きな論争
を巻き起こした. その後, 選択公理は集合論の ZF 公理系から独立であることが
示されたが, 今では多くの分野であまり意識されていない. 本章では, 選択公理
について基本的な理解を深めながら, その現れ方と有用性を垣間見たい.
P4
11.2 選択公理
選択公理には同値な述べ方が何通りかある. 大まかには, 選択集合を用いる
か, 選択関数を用いるか, あるいは直積集合を用いることになるが, それぞれに
多少のバリエーションがある. ここでは, 使いやすく簡潔なものを採用しよう.2)
(AC1) ? を空でない集合族とする. もし Φ not∈ ? であり, ? に属する集合が互い
に素であれば, 集合 A ⊂∪? で3), すべての X ∈ ? に対して |A∩ X| = 1
となるものが存在する. この集合 A を集合族 ? の選択集合という.
(AC2) ? を空でない集合族とする. もし Φ not∈ ? であれば, 写像 f : ? ?→ ∪?
ですべての X ∈ ? に対して f(X) ∈ X となるものが存在する. この写像f を集合族 ? の選択関数という.
(AC3) 集合系 (Aλ|λ ∈ Λ) において, すべての λ ∈ Λ に対して Aλ≠ Φ であれば, 直積集合は ?λ Aλ≠ Φ を満たす.

すぐに証明するが, (AC1)?(AC3) は同値な命題である. これら (のうちの 1 つ)
を選択公理 という. (AC1) と (AC2) において, 集合族 ? 自身が空ならば命題
は自明に成り立つので, ? を単に集合族としても同じことである. ここでは, 応
用を考えて, 集合族 ? をあらかじめ空ではないと断った. 集合の公理 (S10) と
して述べた選択公理 (第 3.3 節) は, 述べ方にわずかな違いがあるが (AC1) と同
値である. また, (AC3) では集合系を扱っているが, 集合系の定義によって, 初
めから Λ≠ Φ である.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/168

170: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2021/05/19(水) 07:57:48.75 ID:H7LP/xSH

>>169
つづき

（補足の英文資料）
https://en.wikipedia.org/wiki/Choice_function
A choice function (selector, selection) is a mathematical function f that is defined on some collection X of nonempty sets and assigns to each set S in that collection some element f(S) of S. In other words, f is a choice function for X if and only if it belongs to the direct product of X.

An example
Let X = { {1,4,7}, {9}, {2,7} }. Then the function that assigns 7 to the set {1,4,7}, 9 to {9}, and 2 to {2,7} is a choice function on X.

Choice function of a multivalued map
Given two sets X and Y, let F be a multivalued map from X and Y (equivalently,  F:→  P(Y) is a function from X to the power set of Y).
A function  f:→ Y is said to be a selection of F, if:
∀ x∈ X,(f(x)∈ F(x)),.
The existence of more regular choice functions, namely continuous or measurable selections is important in the theory of differential inclusions, optimal control, and mathematical economics.[2] See Selection theorem.

https://en.wikipedia.org/wiki/Selection_theorem
Selection theorem

Preliminaries
Given two sets X and Y, let F be a multivalued map from X and Y. Equivalently,  F:→  P(Y) is a function from X to the power set of Y.

A function  f:→ Y is said to be a selection of F if
∀ x∈ X:,,,f(x)∈ F(x),.
In other words, given an input x for which the original function F returns multiple values, the new function f returns a single value. This is a special case of a choice function.

The axiom of choice implies that a selection function always exists; however, it is often important that the selection have some "nice" properties, such as continuity or measurability. This is where the selection theorems come into action: they guarantee that, if F satisfies certain properties, then it has a selection f that is continuous or has other desirable properties.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/170

171: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2021/05/19(水) 07:58:12.73 ID:H7LP/xSH

>>170
つづき

（下記の choice function ”∀ X[Φ not∈ X⇒ ∃ f： X→ ∪ X　 ∀ A∈ X,(f(A)∈ A)]”が一番分かり易いと思う）
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice

Statement
A choice function is a function f, defined on a collection X of nonempty sets, such that for every set A in X, f(A) is an element of A. With this concept, the axiom can be stated:
Axiom ? For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f defined on X.
Formally, this may be expressed as follows:
∀ X[Φ not∈ X⇒ ∃ f： X→ ∪ X　 ∀ A∈ X,(f(A)∈ A)],.
Thus, the negation of the axiom of choice states that there exists a collection of nonempty sets that has no choice function.

Each choice function on a collection X of nonempty sets is an element of the Cartesian product of the sets in X. This is not the most general situation of a Cartesian product of a family of sets, where a given set can occur more than once as a factor; however, one can focus on elements of such a product that select the same element every time a given set appears as factor, and such elements correspond to an element of the Cartesian product of all distinct sets in the family. The axiom of choice asserts the existence of such elements; it is therefore equivalent to:

Given any family of nonempty sets, their Cartesian product is a nonempty set.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/171

202: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2021/05/19(水) 20:58:48.35 ID:H7LP/xSH

>>188 補足
>「∈無限列 ω∋…∋1∋0 」は、上昇列であって、降下ではありませんｗ

和文しか読まない（読めない？）から、ダメなんだ

下記 Axiom of regularity で
”and that there is no infinite sequence (an) such that ai+1 is an element of ai for all i”
ですよ。分かりますかぁ〜？ ｗ

”(an) such that ai+1 is an element of ai for all i”
　↓
” an ∋ ai+1 for all i ”
ですよ。分かりますかぁ〜？ｗ（＾＾；

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity

In mathematics, the axiom of regularity (also known as the axiom of foundation) is an axiom of Zermelo?Fraenkel set theory that states that every non-empty set A contains an element that is disjoint from A. In first-order logic, the axiom reads:
∀ x,(x≠ Φ → ∃ y∈ x,(y∩ x=Φ )).
The axiom of regularity together with the axiom of pairing implies that no set is an element of itself, and that there is no infinite sequence (an) such that ai+1 is an element of ai for all i. With the axiom of dependent choice (which is a weakened form of the axiom of choice), this result can be reversed: if there are no such infinite sequences, then the axiom of regularity is true. Hence, in this context the axiom of regularity is equivalent to the sentence that there are no downward infinite membership chains.

Contents
2 The axiom of dependent choice and no infinite descending sequence of sets implies regularity
Let the non-empty set S be a counter-example to the axiom of regularity; that is, every element of S has a non-empty intersection with S.
We define a binary relation R on S by aRb:⇔ b∈ S∩ a, which is entire by assumption.
Thus, by the axiom of dependent choice, there is some sequence (an) in S satisfying anRan+1 for all n in N. As this is an infinite descending chain, we arrive at a contradiction and so, no such S exists.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/202

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