[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 (942ﾚｽ)
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160(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/19(水)07:53 ID:H7LP/xSH(1/15) AAS
サル二匹
まあ、隔離スレで放し飼いする方が
世間のスレにご迷惑をかけなくていいなｗ（＾＾；
161(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/19(水)07:54 ID:H7LP/xSH(2/15) AAS
>>128 補足
”選択公理⇔整列可能定理”について
（下記が分かり易いね）
http://paiotunoowari.hatenadiary.jp/entry/2015/12/03/133610
整列可能定理 2015-12-03 ぱいおつ日記
ひかるさんのアドベントカレンダー企画の3日目の記事です.
(抜粋)
Nは普通の大小関係で整列集合になってます.
Zとかも普通の大小関係は整列順序じゃないけど0<?1<1<?2<2<...<?n<n<...と並べ直したら整列集合になってます.
こんなふうに,ある順序で整列集合でないような集合でも別の順序では整列集合になっていたりします.
省26
162(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/19(水)07:54 ID:H7LP/xSH(3/15) AAS
>>161
つづき
じゃあ逆向きも示していきます.
選択公理から整列定理を導くのは少し長かったけど,逆はわりとスッキリ示せます.
(整列可能定理⇒選択公理の証明)
任意の非空集合族{Xα|α∈A}を考える.
整列可能定理を用いて∪α∈A Xαに整列順序を入れる.
すると,各α∈AでXαは最小元mαを持つ.
そこで,写像φ:A→∪α Xαをφ(α)=mα(∀α∈A)で定める.
するとこのφが選択関数となっている.■
省3
163(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/19(水)07:55 ID:H7LP/xSH(4/15) AAS
>>162
つづき
（下記は本格的）
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
第13章 整列集合 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
すべての自然数を小さいものから順に一列に並べれば,
1 2 3 4 . . .
のような見慣れた配列が得られる. これは, 自然数に通常の大小による順序関係
省14
164(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/19(水)07:55 ID:H7LP/xSH(5/15) AAS
>>163
つづき
定 理 13.1 自然数 (N, >=<) は整列集合である.
一方, 実数 R, 有理数 Q, 整数 Z は通常の大小関係 >=< によって全順序集合で
あるが, いずれも整列集合ではない. それらには最小元がないからである. だか
らと言って, 実数や有理数を 0 以上のものに限っても整列集合にはならない. た
とえば, X = [0, +∞) の部分集合 A = (0, +∞) には最小元が存在しない.
ここで, 自然数を並び替えて得られる順序の例をいくつか考えておこう.
例 13.2 自然数 x, y ∈ N に対して, x ≧ y のとき x ≦' y と定義すれば, 全順序
集合 (N, ≦') が得られる (問 12.6). 要は,
省26
165(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/19(水)07:55 ID:H7LP/xSH(6/15) AAS
>>164
つづき
13.3 整列可能定理
与えられた集合に適当な順序を定義して整列集合にできるだろうか. 直感的
には, 集合の元を 1 つずつ順に並べればよいわけで, 有限集合に対してなら何ら
問題なくできる. しかし, 無限集合に対してはどうだろうか. カントルはできる
と予想し, ツェルメロが証明を与えた.
1) 実際, ツェルメロは選択公理から整列
可能定理を導いたが, ここではツォルンの補題を用いて証明しよう.2)
定 理 13.15 (整列可能定理) 任意の集合は, 適当な順序を定義することで
省19
166(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/19(水)07:56 ID:H7LP/xSH(7/15) AAS
>>165
つづき
注）
1)カントルは 1883 年の有名な論文で整列集合の概念を与えて, すべての集合を整列集合にでき
ることは原理であり自明なことであると主張した. 後年になって, 証明を試みたようであるが成果
は得られず, 連続体仮説とともにカントルの残した集合論の大きな課題となった. ツェルメロは選
択公理 (AC2) を原理として提起して, それを用いて整列可能定理を証明した (1904). その議論は
大論争を巻き起こしたが, 情況が明らかになる中で, ツェルメロは集合の公理を提示するとともに,
整列可能定理の別証明を与えた (1908).
2)赤 [] にはツェルメロの元証明にしたがった議論が収められている.
省2
167(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/19(水)07:56 ID:H7LP/xSH(8/15) AAS
>>166
つづき
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-12_Ordered.pdf
GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
第12章 順序集合
P8
12.3 ツォルンの補題
順序集合に極大元があるための使いやすい十分条件を与えておこう.
定 理 12.18 (ツォルンの補題)2)
空でない順序集合 X において, すべての全
省10
168(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/19(水)07:57 ID:H7LP/xSH(9/15) AAS
>>167
つづき
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-11_AC.pdf
GAIRON-book : 2018/6/4(8:44)
第11章 選択公理
集合論が発展する過程で, 数学の深みの中から現れた選択公理は大きな論争
を巻き起こした. その後, 選択公理は集合論の ZF 公理系から独立であることが
示されたが, 今では多くの分野であまり意識されていない. 本章では, 選択公理
について基本的な理解を深めながら, その現れ方と有用性を垣間見たい.
P4
省18
169(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/19(水)07:57 ID:H7LP/xSH(10/15) AAS
>>168
つづき
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-3_shugo-enzan.pdf
GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
第3章 集合の演算
P11
3.3 集合の公理
(S10) 選択公理 ここでも集合の元はまた集合であることを思い出す. X は空
集合を元として含まず, 任意の 2 つの元が互いに素であるとき, すべての x ∈ X
に対して x ∩ A が 1 個の元だけからなるような集合 A が存在する.
省7
170(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/19(水)07:57 ID:H7LP/xSH(11/15) AAS
>>169
つづき
（補足の英文資料）
https://en.wikipedia.org/wiki/Choice_function
A choice function (selector, selection) is a mathematical function f that is defined on some collection X of nonempty sets and assigns to each set S in that collection some element f(S) of S. In other words, f is a choice function for X if and only if it belongs to the direct product of X.
An example
Let X = { {1,4,7}, {9}, {2,7} }. Then the function that assigns 7 to the set {1,4,7}, 9 to {9}, and 2 to {2,7} is a choice function on X.
Choice function of a multivalued map
Given two sets X and Y, let F be a multivalued map from X and Y (equivalently, F:→ P(Y) is a function from X to the power set of Y).
A function f:→ Y is said to be a selection of F, if:
省11
171: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/19(水)07:58 ID:H7LP/xSH(12/15) AAS
>>170
つづき
（下記の choice function ”∀ X[Φ not∈ X⇒ ∃ f： X→ ∪ X ∀ A∈ X,(f(A)∈ A)]”が一番分かり易いと思う）
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Statement
A choice function is a function f, defined on a collection X of nonempty sets, such that for every set A in X, f(A) is an element of A. With this concept, the axiom can be stated:
Axiom ? For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f defined on X.
Formally, this may be expressed as follows:
∀ X[Φ not∈ X⇒ ∃ f： X→ ∪ X ∀ A∈ X,(f(A)∈ A)],.
省5
202(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/19(水)20:58 ID:H7LP/xSH(13/15) AAS
>>188 補足
>「∈無限列 ω∋…∋1∋0 」は、上昇列であって、降下ではありませんｗ
和文しか読まない（読めない？）から、ダメなんだ
下記 Axiom of regularity で
”and that there is no infinite sequence (an) such that ai+1 is an element of ai for all i”
ですよ。分かりますかぁ〜？ ｗ
”(an) such that ai+1 is an element of ai for all i”
↓
” an ∋ ai+1 for all i ”
ですよ。分かりますかぁ〜？ｗ（＾＾；
省10
205(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/19(水)23:04 ID:H7LP/xSH(14/15) AAS
>>202 訂正
” an ∋ ai+1 for all i ”
↓
” ai ∋ ai+1 for all i ”
だな
分かると思うが
なお
” ai ∈ ai+1 for all i ”
は、ノイマン流で、これはOK
206(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/19(水)23:19 ID:H7LP/xSH(15/15) AAS
>>202 補足
・空集合Φから出発して、段々複雑な集合を作っていく
・ノイマン流で、0＝Φ、1＝{Φ}、2＝{0,1}＝{Φ,{Φ}}などなど
・この集合を創造する列は、無限に続く。いや続かなければならない。ZFCは、少なくともカントールの集合論を包含すべし。つまり、無限集合を創造できなければならない
・よって、この列は青天井の無限大へ続く
・ところで、列が無限か有限かは、どこで決まるか？ それは列の項の数で決まる。上から数えても、下から数えても変わるはずもない。変わるように思うのは、妄想でしょ
・正則性公理は、なぜ必要か？ ノイマン先生は、ZFCに余計な集合を持ち込みたくなかったのでしょう。ZFCの中をスッキリして、この後の無矛盾だとか完全性とかを証明するために。超限帰納法も使えるしね
・正則性公理が、上昇する無限列を規制したらまずい。有限列しかできないなら、カントールの集合論に届かないよ。無限の上昇列は良いんだよ。0∈1∈2・・∈ω∈ω+1・・ は当然でしょ（＾＾
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