[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 (942ﾚｽ)
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98: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/17(月)07:55 ID:QZBefhAf(5/10) AAS
>>96 追加
こちらの 非可測集合にも
「順序数=整列集合の順序型（順序同型により, 整列集合全体に同値関係を入れたときの同値類）を用いる」と出てくるね
（参考）
https://researchmap.jp/read0064069
平場 誠示 ヒラバ セイジ (Seiji Hiraba)
https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/sh/pdfdvi/ana1.pdf
解析学 I (Analysis I)
Lebesgue 積分論
(Lebesgue Integral Theory) 1
平場 誠示 (Seiji HIRABA) 東京理科大学
P17
6.3 非可測集合
定理 6.3 Ln ? Bn.
証明は ♯Bn = ｱﾚﾌ (連続無限) を認めてもらえば, 以下のように示せる. Cantor 集合のように連続
濃度をもつ Lebesgue 測度 0 の集合があるので, その部分集合も全て Ln の元で, その全体の濃度は ♯2R. 従って, ♯Ln = ♯2R > ♯R = ｱﾚﾌ = ♯Bn.
更に, ♯Bn = ｱﾚﾌ については, 簡単に言えば, n = 1 のとき, 基本集合 (a, b] (?∞ ≦ a ≦ b ≦ ∞) の
全体からなる集合族の濃度は連続で, それらの元の可算回の集合演算で得られる集合全体を考え,
更にそれの可算回操作で, ということを, 無限に繰り返して得られる集合族が Borel 集合体 B1 と
なるので, その濃度は, 連続無限となる. (正確な証明は, 次節の最後に与える.)
P23
最後に, 前節の E が非可測集合なることと定理 6.3 で用いた ♯Bn = ｱﾚﾌ の証明を与えよう.
♯Bn = ｱﾚﾌ については, 順序数=整列集合の順序型（順序同型により, 整列集合全体に同値関係を入れたときの同値類）を用いる.
ちなみに整列集合とは, 全順序集合で, 任意の空でない部分集合が最小元をもつもの.
順序数を表すのに, Φ は 0 として, {1, 2, . . . , n} の同値類を n, N の同値類をω とする.
また, 順序数の濃度を, その同値類の元の一つ, 即ち, 代表元の濃度として定義する. 更
に, 濃度が ｱﾚﾌ0 の順序数は無数にあり, 最小のものが ω で, 次が ω + 1, ω + 2, . . . となる. 例えば,
N ∪ A の順序数は A = {1}, {1, 2}, N に応じて, ω + 1, ω + 2, 2ω となる. また, N2 = N ∪ N ∪ ・ ・ ・
は, ω2 = ω + ω + ・ ・ ・ となる. (順序は辞書式)
[♯Bn = ｱﾚﾌ の証明]
略
(引用終り)
以上
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