[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 (942ﾚｽ)
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89(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/16(日)22:47 ID:vPH1Cr+L(27/28) AAS
>>82
カントールのω解説 下記が参考になるな
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jpssj/41/1/41_1_1_29/_pdf
科学哲学 41-1（2008） C・S・パースとモデル論的論理学の初期局面
C・S・パースとモデル論的論理学の初期局面
石田正人
C・S・パース（1839-1914）
カントールにならい順序数を整列集合の順序型（order type）とみ
なすと，順序数の体系は 19 世紀数学のなかへ実に大胆な構造を導入したもの
であることが分かる．まず有限数を 2 つ掛け合わせても有限であるから，カ
ントールの超限順序数のクラスは非アルキメデス的である 11．また順序数の
算術（ordinal arithmetic）においては，可換性が一般には成り立たないが，
これは順序型からの構造的な帰結と言ってもよい．最も単純な例として 2・
ω ＝ ω ≠ ω・2 をとってみると，2・ω は，2 つの点の組をω個並べたに過
ぎないので，その構造はωと同じであるが，ω・2 は，ωが 2 つあるという
意味なので 12，1 つ目の無限なるω構造の後を 2 つ目のω構造が追いかける格
好になる（図 4）13．
これは一見してωとは異なるより奇妙な構造である．同様に，1 ＋ω ≠ ω＋
1 を考えてみると，1 ＋ω ＝ ω は，いわば変哲のない構造であるが，ω＋ 1
の方は，ω構造を追いかける余分な点が 1 つ，無限の自然数列の彼方に存す
ることになり，あえて図示すれば風変わりな印象を与える．
このように順序数が非アルキメデス的性格を示しながら無限なる上方の超
限順序数に至るまで整然と層化・体系化されているという洞察をもたらした
のが，数学史上に輝くカントール無限論の相貌の一つとすると，無限に小さ
い下方領域が反転的に層化されていてもよいのではないか，と考えるのは，
ある意味で自然なことであろう．とくに ω・2 は，無限の構造を 2 つの点の
位置へ挿入したものと見ることも出来るから，このような意味では，無限の
構造を限りなく微小な領域の内側へ畳み込むというパースの発想は，カントー
ルの無限論と本質的に関わっており，このことがパースをして実数論の超準
モデルへと導いた，とみることができる 14．
つづく
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