[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 (942ﾚｽ)
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186: 2021/05/19(水)17:10 ID:F1LMOWa6(12/13) AA×


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186: [] 2021/05/19(水) 17:10:22.50 ID:F1LMOWa6 つづき P9 定理 4.10. 理論 $T=ZF-U$ において，下記の命題はすべて同値である． (1) UACS. (2) UAC. (3) PAC. (4) (整列定理) すべての集合は整列可能集合である． (5) (テユーキーの補題) $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(A)$ $($ただし $\mathcal{F}\neq\emptyset)$ が有限特性をもつならば，$(\mathcal{F};\subsetneq)$ は極大元をもつ． (6) (ハウスドルフの極大性原理) いかなる半順序集合 $(X;<)$ にも極大鎖 $C\subseteq X$ が 存在する． (7) (ツォルンの補題) 空でないすべての帰納的半順序集合は極大元をもつ． 証明．(概略) (1) $\Leftrightarrow(2)\Leftrightarrow(3)$ は補題 4.3 で観察した．(4) $\Rightarrow(5)$ および (5) $\Leftrightarrow(6)\Leftrightarrow(7)$ は， ZF 上での一般的な証明 (たとえば [1, Section I.12]) が和集合公理に依存していないこと が確かめられる．(5) $\Rightarrow(1)$ は，ZF 上での一般的な「テユーキーの補題 $\Rightarrow$ 選択公理」の証 明では選択の対象となる集合族の和集合を作ることから始まるところを，UAC の場合は 和集合の存在を前提としているので，和集合公理の使用を避けられる．最後に，(3) $\Rightarrow(4)$ では超限帰納法を用いるが，そこでは，定理 4.4 の証明と同様の手法を用いて和集合公理 の使用を回避すればよい． (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/186
つづき 定理 理論 において下記の命題はすべて同値である 整列定理 すべての集合は整列可能集合である テユーキーの補題 ただし が有限特性をもつならば は極大元をもつ ハウスドルフの極大性原理 いかなる半順序集合 にも極大鎖 が 存在する ツォルンの補題 空でないすべての帰納的半順序集合は極大元をもつ 証明概略 は補題 で観察した および は 上での一般的な証明 たとえば が和集合公理に依存していないこと が確かめられる は 上での一般的なテユーキーの補題 選択公理の証 明では選択の対象となる集合族の和集合を作ることから始まるところを の場合は 和集合の存在を前提としているので和集合公理の使用を避けられる最後に では超限帰納法を用いるがそこでは定理 の証明と同様の手法を用いて和集合公理 の使用を回避すればよい 引用終り 以上

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