[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 (942ﾚｽ)
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106: 2021/05/17(月)12:56 ID:Ka93ClwI(1/6) AAS
>>99
>全順序
おやおや、パクチーの雑談君は
整礎関係が全順序とは全然別ってことが
全く理解できてないんだねぇ
整礎関係
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
「数学において、二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、
真の無限降下列をもたないことである。」
「順序集合論では、半順序に対応する真の順序 (strict partial order) が整礎関係となるとき、
その半順序を整礎（整礎半順序）と呼ぶ。
全順序がこの意味で整礎であるとき、整列順序と呼ぶ。」
全順序でない整礎関係の例。
・正整数全体 {1, 2, 3, ...} に a < b ⇔ [a は b を割り切る かつ a ≠ b] となる順序を入れたもの。
・固定された文字集合上の有限文字列全体に s < t ⇔ s は t の真の部分文字列である、で定まる順序。
・自然数の順序対全体の集合 N × N 上の、(n1, n2) < (m1, m2) ⇔ n1 < m1 かつ n2 < m2 となる順序。
・固定された文字集合上の正規表現全体の成す集合に、s < t ⇔ s は t の真の部分表現であるとして定義される関係。
・集合を要素とする任意のクラスの集合要素関係 ∈ 。これは正則性公理そのものである。
・任意の有限有向非輪状グラフのノード全体の、a R b ⇔ a から b へいく辺があるとして定義される関係。
整礎でない関係の例。
・負整数全体 {−1, −2, −3, …} の通常の順序。任意の非有界部分集合が最小元を持たない。
・有限文字集合上の文字列全体の成す集合上の、通常の順序関係（辞書式順序）。
列 "B" > "AB" > "AAB" > "AAAB" > ⋯ は無限降鎖になる。
この関係は、全体集合が最小元（つまり空文字列）を持ったとしても整礎ではない。
・有理数全体（または実数全体）の標準的な順序（大小関係）。
たとえば、正の有理数（または正の実数）全体は最小元を持たない。
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