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(・ω・)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139レス)
(・ω・)俺が日々の数学的発見を書くスレ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/
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3: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/17(月) 19:01:54 ID:O1RoUxa/ 固定ハンドルはコレにする http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/3
17: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/20(木) 10:37:43 ID:eEntaTO9 [証明] t∈[0,1]のとき1/2≦1/(t^2+1)≦1であるから、 b_n=t^n*(1-t)^nとすれば (1/2)b_4≦b_4/(t^2+1)≦b_4 である。よって、 (1/2)∫[0→1]b_4dt<∫[0→1]b_4/(t^2+1)dt<∫[0→1]b_4dt が成り立つ。ここで、 ∫[0→1]b_4dt=4!4!/9!=1/630 ∫[0→1]b_4/(t^2+1)dt =∫[0→1]{t^6-4t^5+5t^4-4t^2+4-(4/(t^2+1))}dt =(t^7/7-(2/3)t^6+t^5-(4/3)t^3+4t)[0→1]-4(Arctan t)[0→1] =22/7-π なので、1/1260<22/7-π<1/630を得る。 よって、22/7-1/630<π<22/7-1/1260であり、 22/7-1/630=1979/630=3.1412…>3.141 22/7-1/1260=3959/1260=3.1420…<3.143 であるので、3.141<π<3.143が示された。// http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/17
129: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2020/02/19(水) 01:16:33 ID:z5ozU8LY [証明2] v(x-y)=a(≧1)とおくと、v(k)=0なるk∈ℤ︎を用いて x=kp^a+yと表せる。このとき、二項定理から x^n-y^n=Σ[i=1→n]nCi*(kp^a)^i*y^(n-i)=Σ[i=1→n]f(n,i) である。ただし、f(n,i)=nCi*(kp^a)^i*y^(n-i)とした。 以下、v(f(n,i))=v(nCi)+aiである事に注意する。 [1]v(n)=0のとき i≧2ならばv(f(n,i))=v(nCi)+ai≧2aであり、 i=1ならばv(f(n,i))=v(n)+a=aであるので、 v(x^n-y^n)=a=v(x-y)+v(n)となる。 [2]n=pのとき i=pならばv(f(n,i))=v(1)+ap>a+1であり、 p>i≧3ならばv(f(n,i))=v(pCi)+ai>a+1であり、 (↑ただしこの場合はp>3のときに限り生じる) i=2ならばv(f(n,i))=v(p(p-1)/2)+2a=1+2a>a+1であり、 i=1ならばv(f(n,i))=v(p)+a=a+1であるので、 v(x^n-y^n)=a+1=v(x-y)+v(n)となる。 [3]n=lp^m(l,m∈ℤ︎,m≧0,v(l)=0)のとき m=0のときは[1]より良い。 m=j(j∈ℤ︎,j≧0)で補題が成立したとすると、 v(x^(lp^(j+1))-y^(lp^(j+1))) =v((x^(lp^j))^p-(y^(lp^j))^p) =v(x^(lp^j)-y^(lp^j))+v(p) (∵[2]) =v(x-y)+v(lp^j)+v(p) (∵仮定) =v(x-y)+v(lp^(j+1)) となり、m=j+1でも補題は成立する。 よって、帰納法により補題の成立が示された。 以上[1]~[3]より、示された。// http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/129
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