[過去ﾛｸﾞ] (･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139ﾚｽ)
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120: ◆uxQt4Y4ywU 2019/10/09(水)17:12 ID:+OzSEsLw(1/3) AAS
[ケプラーの第三法則]
太陽系の惑星の楕円軌道の周期Tと長軸半径aの間には
T^2/a^3=Const.の関係がある。

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121: ◆uxQt4Y4ywU 2019/10/09(水)17:16 ID:+OzSEsLw(2/3) AAS
[証明]
M:太陽の質量 m:惑星の質量
R︎₁︎:太陽から近日点までの距離 V︎₁︎:近日点における速さ
R︎₂︎:太陽から遠日点までの距離 V︎₂︎:遠日点における速さ
mR︎₁︎V︎₁︎=mR︎₂︎V︎₂︎(≡L) (∵角運動量保存)
(1/2)mV︎₁︎²︎-GMm/R︎₁︎=(1/2)mV︎₂︎²︎-GMm/R︎₂︎(≡E) (∵エネルギー保存)
∴ E=(1/2)m(L/(mR︎₁︎))²︎-GMm/R︎₁︎=(1/2)m(L/(mR︎₂︎))²︎-GMm/R︎₂︎
よって、R︎₁︎、R︎₂︎は次のRの二次方程式の2解。
E=(1/2)m(L/(mR))²︎-GMm/R すなわち ER²︎+GMmR-L²︎/(2m)=0
∴ R︎₁︎+R︎₂︎=-GMm/E , R︎₁︎R︎₂︎=-L²︎/(2mE)
省5

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122: ◆uxQt4Y4ywU 2019/10/09(水)17:17 ID:+OzSEsLw(3/3) AAS
久々の投稿になります

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