[過去ﾛｸﾞ] (･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139ﾚｽ)
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30: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/23(日)07:55 ID:SQl9GoQP(2/3) AA×


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30: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/23(日) 07:55:27 ID:SQl9GoQP [証明] 実数a_1,a_2,…,a_2019のことを{a}と書く。 また、行列Xの転置行列をX^Tと書く。 題意より、{a}からa_iを取り除いて、和が等しくなるように 1009個ずつのグループP,Qに二分する事ができる。 行列Aの(i,j)成分A(i,j)を次のように定める。 A(i,i)=0 , A(i,j)=1(if a_j∈P) , A(i,j)=-1(if a_j∈Q) 列ベクトルxを、x=(a_1,…,a_2019)^Tとすると、 Ax=0 (0は2019×1の零行列)である。 ここで、Aから1列目と2019行目を取り除いた 2018×2018の正方行列をBとし、列ベクトルx'を x'=(a_2,…,a_2019)^Tとする。 また、Aの1列目より成る列ベクトルから最終行を除いた 2018×1の列ベクトルをuとし、Bのn列目をuに置き換えた 正方行列をB_nとする。見やすさのためk=-a_1とする。 このとき、Ax=0はBx'=kuと書ける。 クラメルの公式より、x'の(1,n)成分 : x'(1,n)は x'(1,n)=k(det B_n)/(det B)となる。 det B=±1、det B_n=±1であるので、x'(1,n)=±k したがって、x'の各成分の絶対値は|k|に等しい事が分かった。 すなわち、{a}の各々の絶対値は等しい。 以下、{a}の各々の符号が等しい事を示そう。 {a}の中にa_1と符号の異なる数a_n=-kが含まれていると仮定する。 {a}からa_nを取り除いたものを、和が等しくなるように 1009個ずつに二分できる事より、a_1と符号が異なる数は a_nを除いて偶数個、すなわち全体で奇数個ある。 同様に、{a}からa_1を取り除いたものを和が等しくなるように 二分できる事より、a_1と符号が異なる数は 全体で偶数個あると言えるが、これは上述の事に矛盾する。 以上から、{a}の各々の符号は全て等しい。 したがって題意は示された。// http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/30
証明 実数のことをと書く また行列の転置行列をと書く 題意よりからを取り除いて和が等しくなるように 個ずつのグループに二分する事ができる 行列の成分を次のように定める 列ベクトルをとすると はの零行列である ここでから列目と行目を取り除いた の正方行列をとし列ベクトルを とする またの列目より成る列ベクトルから最終行を除いた の列ベクトルをとしの列目をに置き換えた 正方行列をとする見やすさのためとする このときはと書ける クラメルの公式よりの成分 は となる であるので したがっての各成分の絶対値はに等しい事が分かった すなわちの各の絶対値は等しい 以下の各の符号が等しい事を示そう の中にと符号の異なる数が含まれていると仮定する からを取り除いたものを和が等しくなるように 個ずつに二分できる事よりと符号が異なる数は を除いて偶数個すなわち全体で奇数個ある 同様にからを取り除いたものを和が等しくなるように 二分できる事よりと符号が異なる数は 全体で偶数個あると言えるがこれは上述の事に矛盾する 以上からの各の符号は全て等しい したがって題意は示された

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