[過去ﾛｸﾞ] (･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139ﾚｽ)
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14: ◆uxQt4Y4ywU 2019/06/20(木)08:08 ID:lPOXpfNK(3/3) AA×


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14: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/20(木) 08:08:12 ID:lPOXpfNK [証明](前半) b_n=t^n*(1-t)^nとおき、b_nのtでの微分をb_n'のように表す。 b_[n+1]' =(n+1)t^n*(1-t)^n*(1-2t) =(n+1)(1-2t)b_n b_[n+1]'' =-2(n+1)b_n+(n+1)(1-2t)b_n' =-2(n+1)b_n+n(n+1)(1-2t)^2*b_[n-1] =-2(n+1)b_n+n(n+1)b_[n-1]-4n(n+1)t(1-t)b_[n-1] =-2(n+1)b_n+n(n+1)b_[n-1]-4n(n+1)b_n =n(n+1)b_[n-1]-(4n+2)(n+1)b_n よって、I_n=(π^(n+1)/n!)∫[0→1]b_n*sinπtdtとおくと、n≧1のとき ((n+1)!/π^(n+2))I_[n+1] =∫[0→1]b_[n+1]*sinπtdt =[b_[n+1]*(-cosπt)/π][0→1]+(1/π)∫[0→1](b_[n+1]')cosπtdt =(1/π)∫[0→1](b_[n+1]')cosπtdt =(1/π)[(b_[n+1]')sinπt/π][0→1]-(1/π^2)∫[0→1](b_[n+1]'')sinπtdt =(1/π^2)((4n+2)(n+1)∫[0→1]b_n*sinπtdt-n(n+1)∫[0→1]b_[n-1]*sinπtdt) =((4n+2)(n+1)!/π^(n+3))I_n-((n+1)!/π^(n+2))I_[n-1] したがって、 I_[n+1]=((4n+2)/π)I_n-I_[n-1] である。ここで、0≦t≦1のとき0≦b_n*sinπt≦1より 0≦I_n≦π^(n+1)/n!であるから、任意の正の数aに対して 0≦a^n*I_n≦π(aπ)^n/n!→0(n→∞) よって、a^n*I_n→0(n→∞)である。(前半終) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/14
証明前半 とおきのでの微分をのように表す よってとおくとのとき したがって であるここでのときより であるから任意の正の数に対して よってである前半終

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