[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 29問目 (1002ﾚｽ)
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730(3): 2019/08/22(木)16:17 ID:hw83GYlR(1) AAS
Rを実数体として、g:[0,1]→Rを可測関数とするとき、
∫_0^1 f(x)g(x)dx=0
となる恒等的には0ではない連続関数f:[0,1]→Rが存在することを示せ

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731(1): 2019/08/22(木)16:56 ID:r9/sw2kv(1) AAS
>>730
f(t,x)= sin(π(x-t))
I(t)=∫f(t,x)g(x)dx
とおく。
I(t)は収束定理により連続。
I(0) = -I(1)

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733: 2019/08/23(金)10:34 ID:w7ee27lc(1) AAS
>>730
それ本当に成り立つの？

Rの部分集合Aに対して関数1_Aを
(1_A)(x)=1 (x∈Aの時), (1_A)(x)=0 (それ以外の時)
と定めて、0以上1以下の全ての有理数が１回ずつ出現する数列を {q_n}_(n=1,2,…) とおく。
集合A_mを
A_m = ∪_(n=1,2,…) ( q_n - 1/(logm･2^n) , q_n + 1/(logm･2^n) )
とおいて、関数g~:R→[0,∞]を
g~(x) = Σ_(m=2,∞) (1_(A_m))(x)
と、そして関数g:R→[0,∞)を
省12

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754(1): 2019/09/04(水)09:52 ID:J4olSfu5(1) AAS
>>730
写像φ:C([0,1])→Rを

φ(f)=∫_0^1 f(x)g(x)dx
と定める

このとき、Kerφ={0}とすれば、φは線形より単射
したがって#AをAの濃度とすれば

#C([0,1])≦#R

これは矛盾
省1

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