[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 29問目 (1002ﾚｽ)
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716(3): 2019/08/20(火)18:39 ID:tL4LcjDy(2/3) AAS
nが平方因子を含まない奇数のときは n回

(略証)
C(N,k) = (N/k)Π[i=1,k-1] (N-i)/i

aをnの素因数とする。(奇素数)
1≦i≦N-1 のとき　(N-i)/i の分母・分子に現れるaの回数は等しい。
また、kの中に現れるaの回数は　< k/(a-1) ≦ k, ゆえ k-1 以下。

N=n^(n-1) のとき
　C(N,k) は a^(n-k) の倍数、したがって n^(n-k) の倍数

N=n^(n+1) のとき
　C(N,k) は a^(n+2-k) の倍数、したがって n^(n+2-k) の倍数。

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718(1): 2019/08/21(水)00:22 ID:YfssQOZx(1/2) AAS
>>716 補足

kの素因数分解における素数aの回数
　=　[k/a] + [k/a^2] + [k/a^3] + ････ + [k/a^k]
　≦ k/a + k/a^2 + k/a^3 + ････ + k/a^k
　< k/(a-1),

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719: 2019/08/21(水)02:52 ID:Y7aYDYYG(1/5) AAS
>>716
nが平方因子を含んでると駄目なの？

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727: 2019/08/22(木)09:10 ID:5qVSVnaY(1) AAS
a≧3
>>718 の評価を改良して
　k≧2 では k-2回以下

N=n^(n-1), k≧2 のとき
　C(N,k) は n^(n+1-k) の倍数。　M は n^(n+1) の倍数。

N=n^(n+1), k≧1 のとき
　C(N,k) は n^(n+2-k) の倍数。　M は n^(n+2) の倍数。　　>>716

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