[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 29問目 (1002ﾚｽ)
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136(3): 2019/03/26(火)12:15 ID:cJcgY6MN(1/2) AAS
お疲れ様でした。この問題は整数問題ととらえて平方根を外すことを主眼に解こうとするとドツボにはまると思います。
特定の角度をもつ、ピタゴラス三角形をあらかじめ探し出し、目的の多角形の一辺に合うように
縮小し、座標に当てはめていけば見つけられます。以下、用意しておいた解答です。
11sin(π/11)=3.099...、12sin(π/12)=3.105なので、辺の数が12以上でなければ6.2を超えないことが判ります。
そこで、第一象限内に、A(a,a)、B(b,c)、C(c,b) を考え、残りは対称コピーしてできあがる12角形を考えます。
丁度、時計を15度傾けたとき、数字のある位置を頂点とする様な配置の仕方です。
この場合、必要とするピタゴラス三角形は、斜辺の角度が60度のものです。1:√3:2の比の三角形ですが、
これに近いものとして、120:209:241 を採用することとします。A(a,a)が、上のような配置の正十二角形の
一頂点だとしたら、一辺の長さは(√3-1)aとなります。√3-1=0.7320...に近い値として11/15=0.7333...を採用すると、
b=a+(11a/15)*(120/241)=329a/241、 c=a-(11a/15)*(209/241)=1316a/3615
省7
138: 2019/03/26(火)15:44 ID:OnHU8Iku(3/4) AAS
>>136
なるほど。
(1,0) (0,1) を通さなければ 12角形で可能でござるな。
(1,0) (b,c) (c,b) (0,1) の12角形は、中央の辺長が |b-c|√2 なので即アウトでござる。
また
A (1,0)
B (1 - 8nn/(nn+1)^2, 4n(nn-1)/(nn+1)^2)
D (4m(mm-1)/(mm+1)^2, 1 - 8mm/(mm+1)^2)
E (0,1)
の12角形も
省2
139: 2019/03/26(火)16:20 ID:OnHU8Iku(4/4) AAS
>>136
BA = AC = 638891/1232085 = 0.51854458
B~B = CC~ = 2･(317156/1232085) = 0.51482812
L = 4 (BA+AC+CC~) = 7648376/1232085 = 6.20766911
確かに可能でござる。
140: 2019/03/26(火)23:49 ID:cJcgY6MN(2/2) AAS
>>137
ある頂点から、有理数条件(x座標変位、y座標変位、距離すべてが有理数)を満たす点を探すだけなら、
簡単です。どんなものでもいいので、ピタゴラス三角形を持ってくればいいのです。しかも縮尺も
有理数倍でさえあれば自由です。いわば自由端問題で >>136 で記した二つは両方ともこの方針によるものです。
しかし、(t,t)型の頂点からも同時に有理数条件を満たさなければならないとなれば、大変です。
一定方向にのみ動かせますが、いわば固定端問題です。私はこの方針は面倒そうだと思い、端からあきらめて
いましたが、>>137 等では、それを行っています。よく見つけられたと、感歎してます。
実際にプロットしてみましたが、ｎの変化によって、頂点の分布が結構変化しますね。
凸条件を満たさないものや、単位円の外に出るものもありましたが、一定の範囲内のnに対し、
条件を満たします。
省1
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