[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて～な 29問目 (1002ﾚｽ)
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127(4): 2019/03/23(土)22:48 ID:bFmkZXZA(1) AAS
(1)次の条件を満たす 有理数 s,t を見つけよ
・0 ≦ t ≦ 1/√2
・61/80 ≦ s
・s^2 = 2t^2-2t+1
(2)次の条件を満たす 凸多角形 を見つけよ。
・すべての頂点は、単位円の周上または内部にあり、両座標は有理数
・すべての辺長は、有理数
・周長は 31/5 以上
132(1): 2019/03/25(月)03:09 ID:mXyNEWNR(1/2) AAS
>>127 (1)
与式は
s^2 = t^2 + (1-t)^2
ピタゴラス数だから、自然数 a, b により
s = (aa+bb)/N,
t = (aa-bb)/N,
1-t = 2ab/N,
と表わせる。
N = aa+2ab-bb,
s ≧ 61/80 より
省7
134: 2019/03/25(月)21:50 ID:8L6drYlk(1) AAS
>>127 の出題者です。
まず最初に (1) の第一条件 「0 ≦ t ≦ 1/√2」 を「1/2 ≦ t ≦ 1/√2 」に変更させてください。
これは、(2)における、「凸多角形」を「多角形」としてしまうような重大なミスでした。申し訳ありません。
にもかかわらず、132さんには、「1/2 ≦ t ≦ 1/√2 」と変更されたとしても、対応可能なほど、
丁寧に解いていただき、感謝いたします。
s,tの表現や、4.90947499=(61+√1042)/19 < a/b < {1+√(4-2√2)}/(√2 -1)=5.02733952
などから、十分過ぎる内容です。
a:b=5:1を採用すると、自然と、(s,t)=(13/17,12/17) が導けますから。
すでにお気づきだとは思いますが、この問題作成のきっかけは、有名な入試問題「π>3.05を証明せよ」です。
61/80という数字は、そこから持ってきたものです。
135(2): 2019/03/26(火)04:26 ID:OnHU8Iku(1/4) AAS
>>127
しょうがねぇから (2) も解くか････
A (1, 0)
B (1 - 8nn/(nn+1)^2, 4n(nn-1)/(nn+1)^2)
C (c, c)
とおく。
ただし c = {21(n^4-6nn+1) + 80n(nn-1)}/{41(nn+1)^2} < 1/√2,
n≧6 のとき凸16角形（の 1/8）となる。
AB は 横2n：縦(nn-1) の直角⊿の斜辺ゆえ
AB = 4n/(nn+1),
省9
141(2): 2019/03/27(水)01:22 ID:RCQB5eMI(1/2) AAS
>>127
問題の趣旨に添う回答じゃないかもだけど一応。自然数 n に対して
a = 4n^4+8n^3-4n-1 = (2n^2-1)(2n^2+4n+1),
b = 8n^3+12n^2+4n = 4n(n+1)(2n+1),
c = 4n^4+8n^3+8n^2+4n+1 = (2n^2+2n+1)^2,
d = 8n^3+12n^2+8n+2 = 2(2n+1)(2n^2+2n+1)
と定めて α=(a+bi)/c とおけば、|α|=1, |1-α|=d/c と有理数になってくれるから、
うまいこと自然数 m を定めて複素平面上の点集合 {a^n}_(n=-m,…,m) を順に結べば周長以外の条件を全て満たす。
点集合を順に結んで（α^m と α^(-m) も結んで）凸多角形ができるために m が満たすべき条件はというと、
α^1 から α^m までが全て上半平面にあることのみ。（このため m の大きさはだいたい πn/2 程度に制限される）
省2
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