[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 29問目 (1002ﾚｽ)
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216(1): 2019/04/09(火)10:16 ID:fr3gP2yM(1/6) AAS
>>213
n＝0 のとき (-1)^n・x^(2^n)＝x^(2^0)＝x^1なので、
f(x)=1-x^2+x^4-x^8+x^16-x^32+…+(-1)^n・x^(2^n)+…
ではなく
f(x)= x -x^2+x^4-x^8+x^16-x^32+…+(-1)^n・x^(2^n)+…
だよね？
217(1): 2019/04/09(火)10:20 ID:fr3gP2yM(2/6) AAS
>>213
a＝lim(x→1-)f(x)∈R が存在するとする。
f(x)＝Σ[n＝0〜∞]x^{4^n}(1−x^{4^n}) なので、0＜x＜1とm≧1を任意に取るとき、
f(x^{1/4^m})
＝Σ[n＝0〜∞]x^{4^{n−m}}(1−x^{4^{n−m}})
＝Σ[n＝−m〜∞]x^{4^n}(1−x^{4^n})
となる。m→＋∞とすると、x^{1/4^m}↑1 なので、
a＝Σ[n＝−∞〜∞]x^{4^n}(1−x^{4^n})
となる。これが任意の0＜x＜1で言えることになる。
218(2): 2019/04/09(火)10:25 ID:fr3gP2yM(3/6) AAS
しかし、x＝1/2, 1/3 のときの Σ[n＝−∞〜∞]x^{4^n}(1−x^{4^n}) の値を
数値計算すると、同じ値にはならないことが予想される。
厳密に違う値になることを示すには、適当な有限項までは厳密に計算し、
残りの剰余項は雑に上下から評価するだけでよい。
この級数は収束のスピードが極めて速いので、それでも何とかなる。
ただし、手計算では追いつかない分量ではある (＾o＾)
222(1): 2019/04/09(火)22:23 ID:fr3gP2yM(4/6) AAS
>>220-221
>>217-218で解答は終わってるはずだけど？
どこか間違ってた？
224(1): 2019/04/09(火)23:42 ID:fr3gP2yM(5/6) AAS
>>223
本質的ではないね。
a＝Σ[n＝−∞〜∞]x^{4^n}(1−x^{4^n}) (0＜x＜1)
が導けた時点で本質的な矛盾は既に出ている。あとはただの数値計算。
人間の手でも終わるような上手い評価の仕方もあるかもしれないが、
受験数学でもあるまいし、それは本質ではない。
225: 2019/04/09(火)23:45 ID:fr3gP2yM(6/6) AAS
何が言いたいかというと、本質的ではないところにこだわって
「不正解」とか言い出すのはバカバカしいということ。
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