[過去ログ] 不等式への招待 第10章 (1002レス)
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(17): 不等式ヲタ ( ゚∀゚) 2018/12/18(火)21:47 ID:e1oKVpnI(1/4) AAS
ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
          ___          ----- 参考文献〔3〕 P.65 -----
    |┃三 ./  ≧ \   
    |┃   |::::  \ ./ | 
    |┃ ≡|::::: (● (● |  不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ     黙っちゃゐられねゑ…
    |┃=__    \           ハァハァ
    |┃ ≡ )  人 \ ガラッ

【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
省22
2
(9): 不等式ヲタ ( ゚∀゚) 2018/12/18(火)21:47 ID:e1oKVpnI(2/4) AAS
【不等式の和書】

[1] 不等式(数学クラシックス11),Hardy, Littlewood, Polya,丸善出版,2003年
   http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2] 不等式(数学選書),大関信雄・青木雅計,槇書店,1967年(絶版)
[3] 不等式への招待(数学ゼミナール6),大関信雄・大関清太,近代科学社,1987年
   http://amazon.jp/dp/4844372661
[4] 不等式入門(数学のかんどころシリーズ9),大関清太,共立出版,2012年
   http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
[5] 不等式入門(数学ライブラリー教養篇4),渡部隆一,森北出版,2005年
   http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
省21
3
(3): 不等式ヲタ ( ゚∀゚) 2018/12/18(火)21:47 ID:e1oKVpnI(3/4) AAS
諸君 私は不等式が好きだ
諸君 私は不等式が大好きだ

改造が好きだ 改良が好きだ 拡張が好きだ

AM-GMで Cauchyで Holderで Jensenで Schurで
Chebyshevで rearrangementで Bernoulliで
Muirheadで Karamataで Maclaurinで ぬるぽビッチで

この地上に現れるありとあらゆる不等式が大好きだ

大小順をそろえた歩兵の横隊を 並べ替え不等式で蹂躙するのが好きだ
恐慌状態の新兵が分母にAM-GMを誤用して 不等号の向きを何度も何度も間違えている様など感動すら覚える
省25
4
(3): 2018/12/18(火)21:55 ID:e1oKVpnI(4/4) AAS
前スレ967の不等式、(3)が2019年度中国数学オリンピック第一問

(1) a,b,c≧-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d≧-1, a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e≧-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.

---------------------------------------
(1)の証明
a+b, b+c, c+a のうち負は高々1個。

a+b, b+c, c+a ≧0のとき、AM-GMより、
0 ≦ (a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = 8.

1つだけ負のとき、対称性から a+b < 0 ≦ b+c, c+a としてよい。
省9
5
(1): 2018/12/19(水)01:42 ID:01wf4Nsj(1) AAS
削除依頼を出しました
6
(1): 2018/12/19(水)05:34 ID:5zoTD2o3(1/2) AAS
>>1
スレ立て乙
ついに2桁に到達したでござるな。

・次スレ用のメモ。

【過去スレ】
 〜.2ch.net/ → 〜.5ch.net/
・過去スレのミラー置き場
   http://onedrive.live.com/?id=D357AFBB34F5B26F%21110&cid=D357AFBB34F5B26F

【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ  http://www.casphy.com/bbs/highmath/471952/
省1
7
(1): 2018/12/19(水)05:36 ID:5zoTD2o3(2/2) AAS
>>2
次スレ用のメモ

【不等式の和書】

[1] 不等式 (数学クラシックス11), G.H.Hardy、J.E.Littlewood、G.Polya(著)、細川尋史(訳), 丸善出版, 2012年, 417p.
   http://www.amazon.co.jp/o/ASIN/4621063510
[2] 不等式 (数学選書), 大関信雄・青木雅計, 槇書店, 1967年(絶版), 237p.
   ASIN B000JA494Y,
[3] 不等式への招待 (数学ゼミナール6), 大関信雄・大関清太,近代科学社,1992年, 162p.
   ASIN 4844372661, ISBN 978-4-844-37266-0,
   http://www.kindaikagaku.co.jp/news/20120912/index.html
省20
8: 2018/12/19(水)06:39 ID:K5b8go44(1/5) AAS
>>6-7
乙。修正すべきことがたくさんあるね。
9
(2): 2018/12/19(水)09:51 ID:K5b8go44(2/5) AAS
>>4
> (2) a,b,c,d≧-1, a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.

a+b, b+c, c+d, d+a のうち、3つ以上が負にならない。
また2つが負のとき、隣り合う2つか、一つおきの2つが負だが、後者はありえない。

結局、次の3つを考えればよい。
(i) a+b, b+c, c+d, d+a ≧0.
(ii) a+b, b+c, c+d ≧0 >d+a.
(iii) a+b, b+c ≧0 > c+d, d+a.

(i)のとき、AM-GMより 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦16.

(ii)のとき、4<b+c≦6に注意して
省6
10
(1): 2018/12/19(水)16:49 ID:K5b8go44(3/5) AAS
>>9
蛇足 : (ii)では 4<b+c≦6、(iii)では 7≧b>d≧-1に注意。
11: 2018/12/19(水)18:10 ID:K5b8go44(4/5) AAS
>>10
アホだ。ちゃんと書いとったわ。
12: 2018/12/19(水)20:38 ID:K5b8go44(5/5) AAS
>>4
> (3) a,b,c,d,e≧-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.

a+b, b+c, c+d, d+e, e+a のうち、4つ以上が負にならない。
また3つが負の場合に、負でない2つが隣り合わない場合も除外してよい。

結局、次の5つを考えればよい。
(i) a+b, b+c, c+d, d+e, e+a ≧0.
(ii) a+b, b+c, c+d, d+e ≧0 > e+a.
(iii) a+b, b+c, c+d ≧0 > d+e, e+a.
(iv) a+b, b+c, d+e ≧0 > c+d, e+a.
(v) a+b, b+c ≧0 > c+d, d+e, e+a.
省28
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(1): 2018/12/22(土)04:43 ID:PuO49N5y(1) AAS
〔問題A-3〕
 a, b ≧1 のとき不等式
  (1/2)^{a+b-2} ≦ (a+b-1)∫[0,1] t^{a-1} (1-t)^{b-1} dt ≦ 1
が成り立つことを証明して下さい。

(近畿大学 数学コンテスト21, 2018/11/03)
http://www.math.kindai.ac.jp/index.php?id=84 → 第21回(H30年)
http://suseum.jp/gq/question/2997
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式2-327
14: 2018/12/22(土)05:40 ID:v/6AAPaR(1) AAS
>>4
一般の場合のよい証明が思いつかんでござる。
15: 2018/12/22(土)22:59 ID:fXYd5inn(1) AAS
正整数t,k,mがあって、t^2>kmを満たす。
このとき次の不等式が成立
Σ[i=0,m-t-1]C[2m,i]<4^m/2k
16: 2018/12/25(火)00:39 ID:VHyUt/tL(1) AAS
迫力満点なのを…
http://mobile.twitter.com/cho_san111000/status/954730066033831940
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
17: 2018/12/25(火)01:38 ID:AdUIceWu(1/2) AAS
変なのが住み着いたな
18: 2018/12/25(火)01:39 ID:AdUIceWu(2/2) AAS
そういうのは自分のブロクの中だけに留めとけよ
19
(2): 2018/12/26(水)09:35 ID:2DcmDNkQ(1/2) AAS
〔補題〕
自然数mについて
 4^m /√(π(m+1/3)) < C[2m,m] < 4^m /√(π(m+1/4)),

(略解)
 a_m = √{π(m+1/4)} C[2m,m]/(4^m),
 b_m = √{π(m+1/3)} C[2m,m]/(4^m),
とおくと
 a_m < b_m,

(4m+5)(2m+1)^2 - (4m+1)(2m+2)^2 = 1 より
a_{m+1}/a_m = √{(4m+5)/(4m+1)}・{(2m+1)/(2m+2)} > 1,
省8
20: 2018/12/26(水)23:29 ID:2DcmDNkQ(2/2) AAS
>>19 (続き)

3<π<4  √(π(m+1/4)) < 1 < √(π(m+1/3)) より a_0 < 1 < b_0
3<π<3.2 √(π(m+1/4)) < 2 < √(π(m+1/3)) より a_1 < 1 < b_1
m>1 のときも a_m < 1 < b_m
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