[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 28問目 (1002ﾚｽ)
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911(3): 2018/12/29(土)21:15 ID:TLF1TGk4(1) AAS
>>902
できた。
まず基本的な公式として n≧3 のとき
Σ s(σ) = 0、Σ s(σ)f(σ) = 0、Σ[f(σ) = 0] s(σ) = (-1)^(n-1)(n-1)
が成立する。容易ゆえ証明は略。
自然数 n,i に対し
X[n,i] = Σ[n∈Sn] s(σ)/(f(σ) + i)、
Y[n,i] = (-1)^(n-1) n! (i-1)!/(n+i)/(n+i-2)!
とおく。
X[n,i] = Y[n,i] を示せば十分である。
省21
912: 2018/12/30(日)08:58 ID:kTwoovIR(1/2) AAS
>>911
想定していた解とは違いますが、正しそうです
問題より強い主張を漸化式を用いて示したわけですね
i≧2の場合の議論は避けられなさそうです
詳しく書いてくださりありがとうございます
ちなみに出典は某数学コンテスト(数オリではない)です
913(1): 2018/12/30(日)09:23 ID:k0jfpvut(1) AAS
>>902
俺もできたけど>>911の方が美しいかな…
一応概略を書いとく
>>911と同じく Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i) を求める方針で、使う漸化式が異なる。
なので記号を借りて
X[n,i]=Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i) (*)
とおく。
S_n の元を、n-1, n の行き先によって分類する。
(i)n-1, n を固定するもの。
これだけで (*) の和を考えると、X[n-2, i+2] に一致することが分かる。
省10
914: 2018/12/30(日)09:30 ID:kTwoovIR(2/2) AAS
>>913
方針は同じようですね
個人的には>>911の変形の方がより自然なように感じます
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