[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 28問目 (1002ﾚｽ)
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27(3): 2018/11/01(木)00:37 ID:B/Irv09c(1) AAS
分かすれ447の888より未解決

fを実係数n次多項式、s_0,s_1,...,s_nを相異なる実数とすると
f(x+s_0),f(x+s_1),f(x+s_2),...,f(x+s_n)は一次独立であることを示せ

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28: 2018/11/01(木)01:42 ID:x6bVfA2R(1) AAS
>>27
f(x) = Σc[j]x^j とおき Σ[i] a[i] f(x+s[i]) = 0 とする。
Σa[i] c[j] (x + s[i])^j = 0 である。
n-k次の係数は
Σa[i] c[n] C[n k] s[i]^k
+Σa[i] c[n-1] C[n-1 k-1] s[i]^(k-1)
+Σa[i] c[n-2] C[n-2 k-2] s[i]^(k-2)
……
+Σa[i] c[n-k] C[n-k 0] s[i]^(k-k)
でこれが0であるから帰納的に
省3

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30(2): sage 2018/11/01(木)04:00 ID:xVnRbBm5(1) AAS
>>27
nについての帰納法で。
n=1 のとき (略)

n-1 に対して成立したとする。
　n次の多項式f(x)に対し、因数定理より
　f(x+��) - f(x) = g(x)��,
　g(x) は 高々n-1次の多項式で、係数はf(x)の場合と同様。
いま
　Σ[k=0，n] c_k f(x+s_k) = 0,
とする。x^n の係数を比べて
省11

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248: 2018/11/14(水)02:25 ID:uakH23jG(2/2) AAS
〔補題〕
ペル方程式 pp - 2qq = -1 には解が無数に存在する。

(略証)
(p_1, q_1) = (1, 1)　は一つの解である。

(p, q) が解ならば
　p ' + q'√2 = (1+√2)^2･(p+q√2),
　p ' - q'√2 = (1-√2)^2･(p-q√2),
(どちらでも同じこと）とおくと、
　p ' = 3p + 4q,
　q ' = 2p + 3q,
省5

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