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面白い問題おしえて〜な 28問目 (1002レス)
面白い問題おしえて〜な 28問目 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
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911: 132人目の素数さん [sage] 2018/12/29(土) 21:15:58.90 ID:TLF1TGk4 >>902 できた。 まず基本的な公式として n≧3 のとき Σ s(σ) = 0、Σ s(σ)f(σ) = 0、Σ[f(σ) = 0] s(σ) = (-1)^(n-1)(n-1) が成立する。容易ゆえ証明は略。 自然数 n,i に対し X[n,i] = Σ[n∈Sn] s(σ)/(f(σ) + i)、 Y[n,i] = (-1)^(n-1) n! (i-1)!/(n+i)/(n+i-2)! とおく。 X[n,i] = Y[n,i] を示せば十分である。 n≦3 においては容易。 Yが漸化式 Y[n+1,i] = -(n+i)Y[n,i] + (i-1)Y[n, i-1]+ Y[n,i+1] (i≧2)、 Y[n+1,i] = -(n+i)Y[n,i] + (-1)^(n-1)(n-1)+ Y[n,i+1] (i=1) を満たすことは容易。 σ∈S[n+1] に対し g(σ) をその固定点数とする。 まずn≧3、i≧2 において X[n+1,i] = Σ[σ∈S[n],k:1〜n+1] s((k n+1)σ)/(g((k n+1)σ)+i) = Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+i) - f(σ)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) ) = Σ[σ∈S[n]]( -(n+i)s(σ)/(f(σ)+i) + (i-1)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) ) = Σ[σ∈S[n]]( -(n+i)s(σ)/(f(σ)+i) + (i-1)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) ) = -(n+i)X[n,i] + (i-1)X[n, i-1]+ X[n,i+1] であり、n≧3、i=1において X[n+1,1] = Σ[σ∈S[n],k:1〜n+1] s((k n+1)σ)/(g((k n+1)σ)+1) = Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) - Σ[σ∈S[n], f(σ)≠0] f(σ)s(σ)/(f(σ)) = Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) + Σ[σ∈S[n], f(σ)=0] s(σ) = Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) + (-1)^(n-1)(n-1) = -(n+i)X[n,i] + (-1)^(n-1)(n-1)+ X[n,i+1] である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/911
912: 132人目の素数さん [sage] 2018/12/30(日) 08:58:19.51 ID:kTwoovIR >>911 想定していた解とは違いますが、正しそうです 問題より強い主張を漸化式を用いて示したわけですね i≧2の場合の議論は避けられなさそうです 詳しく書いてくださりありがとうございます ちなみに出典は某数学コンテスト(数オリではない)です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/912
913: 132人目の素数さん [sage] 2018/12/30(日) 09:23:56.79 ID:k0jfpvut >>902 俺もできたけど>>911の方が美しいかな… 一応概略を書いとく >>911と同じく Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i) を求める方針で、使う漸化式が異なる。 なので記号を借りて X[n,i]=Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i) (*) とおく。 S_n の元を、n-1, n の行き先によって分類する。 (i)n-1, n を固定するもの。 これだけで (*) の和を考えると、X[n-2, i+2] に一致することが分かる。 以下同様に、 (ii)n-1 と n を入れ替えるもの→-X[n-2, i] (iii)n を固定し n-1 を固定しない→X[n-1,i+1]-X[n-2,i+2] (iv)n を n-1 に移し、n-1 を n に移さない→-X[n-1,i]+X[n-2,i+1] (v)n-1 を固定し n を固定しない→(iii)と同じ (vi)n-1 を n に移し、n を n-1 に移さない→(iv)と同じ (vii)n-1,n が共に n-2 以下に移る→0 (∵σとσ(n-1 n)で打ち消しあう) これらの総和をとって X[n,i]=2(X[n-1,i+1]-X[n-1,i])-(X[n-2,i+2]-2X[n-2,i+1]-X[n-2,i]) を得る。あとは推測して帰納法。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/913
914: 132人目の素数さん [sage] 2018/12/30(日) 09:30:46.48 ID:kTwoovIR >>913 方針は同じようですね 個人的には>>911の変形の方がより自然なように感じます http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/914
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