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面白い問題おしえて〜な 28問目 (1002レス)
面白い問題おしえて〜な 28問目 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
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913: 132人目の素数さん [sage] 2018/12/30(日) 09:23:56.79 ID:k0jfpvut >>902 俺もできたけど>>911の方が美しいかな… 一応概略を書いとく >>911と同じく Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i) を求める方針で、使う漸化式が異なる。 なので記号を借りて X[n,i]=Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i) (*) とおく。 S_n の元を、n-1, n の行き先によって分類する。 (i)n-1, n を固定するもの。 これだけで (*) の和を考えると、X[n-2, i+2] に一致することが分かる。 以下同様に、 (ii)n-1 と n を入れ替えるもの→-X[n-2, i] (iii)n を固定し n-1 を固定しない→X[n-1,i+1]-X[n-2,i+2] (iv)n を n-1 に移し、n-1 を n に移さない→-X[n-1,i]+X[n-2,i+1] (v)n-1 を固定し n を固定しない→(iii)と同じ (vi)n-1 を n に移し、n を n-1 に移さない→(iv)と同じ (vii)n-1,n が共に n-2 以下に移る→0 (∵σとσ(n-1 n)で打ち消しあう) これらの総和をとって X[n,i]=2(X[n-1,i+1]-X[n-1,i])-(X[n-2,i+2]-2X[n-2,i+1]-X[n-2,i]) を得る。あとは推測して帰納法。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/913
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