\section{TeX の時間} %%% 第 XIII 節 %%%

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849: 2023/05/23(火)00:43 ID:wmZr8viD(1/36) AAS
mが正整数
の時,

850: 2023/05/23(火)01:07 ID:wmZr8viD(2/36) AAS
(ma)b=(a+a+…+a)b
=ab+…+ab=m(ab)=mab

851: 2023/05/23(火)01:08 ID:wmZr8viD(3/36) AAS
a(mb)=a(b+…+b)
=ab+…+ab=m(ab)=mab

852: 2023/05/23(火)01:10 ID:wmZr8viD(4/36) AAS
0a=0と規約する

853: 2023/05/23(火)01:12 ID:wmZr8viD(5/36) AAS
mを正整数として
-m=n≤0とおけて

854: 2023/05/23(火)01:13 ID:wmZr8viD(6/36) AAS
na=-mb=m(-b)として

855: 2023/05/23(火)01:13 ID:wmZr8viD(7/36) AAS
m(-a)b=……m(-ab)

856: 2023/05/23(火)01:14 ID:wmZr8viD(8/36) AAS
a(-mb)=a(m(-b))=m(-ab)

857: 2023/05/23(火)01:15 ID:wmZr8viD(9/36) AAS
=-mab=nab

858: 2023/05/23(火)01:17 ID:wmZr8viD(10/36) AAS
∀m∈ℤ、ma∈Rと出来る

859: 2023/05/23(火)01:20 ID:wmZr8viD(11/36) AAS
環Rが零因子を持たないと仮定すると

860: 2023/05/23(火)01:22 ID:wmZr8viD(12/36) AAS
ax=acの時,
⇔a(x-c)=0
⇔a=0またはx-c=0
a≠0よりx=c
従って左簡約律が成り立つ

861: 2023/05/23(火)01:23 ID:wmZr8viD(13/36) AAS
xa=caとする
(x-c)a=0
⇔x-c=0またはa=0
a≠0よりx=c
よって右簡約律も成り立つ

862: 2023/05/23(火)01:24 ID:wmZr8viD(14/36) AAS
左簡約律が成り立つと仮定すると

863: 2023/05/23(火)01:25 ID:wmZr8viD(15/36) AAS
ab=0∧a≠0の時,

864: 2023/05/23(火)01:29 ID:wmZr8viD(16/36) AAS
ab=0、a0=0よりb=0

865: 2023/05/23(火)01:30 ID:wmZr8viD(17/36) AAS
これはRが零因子を持つことになり矛盾である

866: 2023/05/23(火)01:30 ID:wmZr8viD(18/36) AAS
よって∀a, b∈R、ab≠0
従ってRは零因子を持たない

867: 2023/05/23(火)01:31 ID:wmZr8viD(19/36) AAS
任意の2元の積が零になることが決して無い

868: 2023/05/23(火)01:37 ID:wmZr8viD(20/36) AAS
Fを体とする