[過去ﾛｸﾞ] 背理法不要論ってどうなん？ (459ﾚｽ)
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21(1): 2018/05/18(金)16:52 ID:u4xfRisT(1) AAS
よくある勘違いで言えば
背理法不要論でいう背理法は数理論理学でいう背理法云々とは別物、証明法の話（主張そのものを見れば明らかなことだけど）
排中律とかはもちろん認めていて
前提に結論の否定を持ってきて始める証明法を問題にしているはず
22: 2018/05/18(金)16:59 ID:9WM3MLT9(3/3) AAS
そういうこと
証明法と言わずに書式の問題だと言った方が分かりやすい
23(2): 2018/05/18(金)23:30 ID:9raX2Rje(1) AAS
>>13 の証明方法
ネット上でも叩かれまくり
＝でなく≠で式を変形していくのは、より危険が大きい
素因数分解の一意性を使用しているが、背理法無用論で証明できるのか？
分かりやすくなるというメリットが無い。これでは背理法を使った方がより分かりやすい。
などなど
24(2): [age] 2018/05/18(金)23:59 ID:4eoGWamn(1) AAS
カントールの対角線論法も背理法でしょう。
だから背理法を否定したら、実数の無限集合が可付番集合でないことさえ
証明できなかった訳で。数学は背理法的な逆から矛盾を導くツールが多いよ
25(1): 2018/05/19(土)00:07 ID:S5Pbjzeo(1) AAS
>>24
√2の無理数性の証明と対角線論法は背理法といっても違うらしい
26: 2018/05/19(土)00:16 ID:O61Cmx2t(1/2) AAS
>>24
それの直接証明もあったような
27(1): 2018/05/19(土)01:30 ID:aNDPn9PL(1/2) AAS
>>13
こういうスタイル俺もやるわ。
背理法って要は対偶論法なんだよな。真であることがわかってる命題Aに対して「¬P⇒...⇒¬A」を示して、
そこから対偶で全部ひっくり返して「A⇒...⇒P」とやってPを証明する。
細かいことを言えば頭に量化子がついたりするんだけど、言いたいことは分かると思う。
28(1): 2018/05/19(土)05:25 ID:O61Cmx2t(2/2) AAS
>>27
背理法と対偶は違う
29: 2018/05/19(土)11:15 ID:WuHGsoBM(1) AAS
背理法と対偶は命題論理の公理として互換性があるので、その意味で同じ
30: 2018/05/19(土)11:52 ID:75GRRlK2(1) AAS
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31: 2018/05/19(土)12:45 ID:RP1ROwHE(1) AAS
アナクロスレ
32: 2018/05/19(土)12:53 ID:aNDPn9PL(2/2) AAS
>>28
わりぃ、根拠書かないやつは一律に無視してるんだわ
33: 2018/05/19(土)16:57 ID:Wn+kp4W9(1) AAS
>>23
論点を勘違いした人が叩いてるだけ
34: 2018/05/21(月)20:47 ID:6mBNuKxt(1) AAS
そんなことはないな
>>23 の論点は重要
これじゃあ背理法を使うべきだな
35(2): 2018/05/21(月)21:18 ID:x7a2VNRA(1) AAS
明らかに「背理法」が変な証明もあるのでそれは排除した方がよい。
例えばある集合からそれの冪集合への全射がないことを示すのに、
「全射があったと仮定する」と言いながら、全射であるという条件を使わず、
単に写像であるということだけから値域に入らないものを作ってる。
それで「背理法の仮定に反する」という証明。変だよな。
普通に、「集合から冪集合への写像は全射ではない」と言えばいいだけだから。
36: 2018/05/22(火)00:20 ID:CLEbNfNq(1) AAS
>>35
そういうのまれにあるよな
37(1): 2018/05/22(火)08:00 ID:14123UEN(1/4) AAS
≠での変形でも背理法よりかは直感的だと思うが
38: 2018/05/22(火)08:10 ID:14123UEN(2/4) AAS
初等的な数学までしか修めていない人は勘違いしがちだが、論理変形だけに目が行って本質を捉え損ねると高度な数学はできないよ
正しさだけを追い求めればいいというものではない
もちろん間違いはないように進める必要はあるが
≠での変形でも、正しさを論理的に確かめてあれば問題はないだろう
どのような手法に基づこうが命題の正しさ自体が保証されることは否定していないし、そこは問題にしていないんじゃないか
命題が論理的に正しいことが理解できるのであれば、その次に重要なのはその命題の証明を含めた理解だよ
ここがおろそかになると真っ当に数学はできない
と、いうよりこの理解度自体が数学における研究に求められる資質の一つ
もちろん、受験数学程度であればそこまで必要はないのかもしれないが
学問として数学を修めるには必要なこと
39: 2018/05/22(火)08:19 ID:14123UEN(3/4) AAS
数学の研究発表においても、
背理法で証明すること自体は問題は無いが
背理法で証明します、なんだかよくわからないけど証明は回ります、というのはやってはいけない
必ず何が本質かということは理解していて、説明できなければならない
だから、背理法を使っていても、何が本質かちゃんと押さえておければいいけれども
例えば学生が重要な命題の証明で何が何だかわからないけど証明だけはできます、という認識だと、理解に重大な影響を及ぼすので教育上よろしくないというのはわかる
40: 2018/05/22(火)08:40 ID:14123UEN(4/4) AAS
とある数学者も言っていたが、物理や化学と違って数学の命題は暗記するものではなく理解する物である
公理さえ定めてしまえば全て道で繋がっている、一つの世界が出来上がるのが素晴らしいところ
そして命題の理解と証明とはとても密接な関係にあるのだから証明のための証明に抵抗を感じる数学者は少なくないだろう
もちろん実践的な研究のうえで背理法が必要になることはあるし、それについては否定していないのでは
あくまで、数学の本質の理解を妨げる危険性に注意しろ、ということであれば納得できるはなし
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