[過去ﾛｸﾞ] ルベーグ積分や測度論のスレ その2 (473ﾚｽ)
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349(3): 2020/04/04(土)02:06 ID:KapJV3EO(1/17) AAS
>>347
＞リーマン式の重積分の変換公式なんて
＞解析系の教授でさえキチンと証明を追ってない人はいっぱいいるぞ
笑止千万。リーマン式ごときでキチンと証明を追わない教授がいるわけがないｗ
仮にいたとしても、それは単にモチベが上がらないからにすぎない。
リーマン式は適用できる関数クラスが貧弱なので、証明を読むのも億劫だということ。
結局それは「わたしはリーマン式がすき」「わたしはルベーグ式がすき」という、
個人的な好みの表明でしかないし、適当できる関数クラスが広大なルベーグ式の方に
プロは流れやすいということでしかない。
しかもこれは、仮に証明を追わない教授がいたとしての話であり、
省6
350: 2020/04/04(土)02:08 ID:KapJV3EO(2/17) AAS
>>347
＞教科書に書いてはあるが誰も読まない
＞その事を「腑に落ちない」「ブラックボックス」と表現したのだ
ふざけるなｗｗｗ
「教科書に書いてはあるが誰も読まない」≠「腑に落ちない」「ブラックボックス」
教科書に書いてはあるが誰も読まない、という内容のことを
「腑に落ちない」「ブラックボックス」などと表現するのは完璧に間違っているｗ
お前は日本語のチョイスを完全に間違えているｗ
351(1): 2020/04/04(土)02:09 ID:KapJV3EO(3/17) AAS
>>347
＞あんたはレスの日本語の流れを一切理解してない
日本語が正確に書けないのお前が悪いｗ
教科書に書いてはあるが誰も読まない、という内容のことを
「腑に落ちない」「ブラックボックス」などと表現するのは完璧に間違っているｗ
しかも、「教科書に書いてはあるが誰も読まない」という前提自体が
既に間違っているというオマケつき。
不真面目な学生は完全スルーしてもおかしくはないが、
教授の方がリーマン式ごときで完全スルーし、証明を理解することに
匙を投げたり適当にお茶を濁したりなんて絶対にありえないｗ
省3
352: 2020/04/04(土)02:12 ID:KapJV3EO(4/17) AAS
>>347
＞ここをスッキリ証明してくれるのがルベーグ式だろ
リーマン式でも、リーマン式の中で適応できる関数クラス内においては
完全にスッキリ証明してますが何か？
＞だからルベーグ式は「適用できる関数クラスが広大」なんてこと以前に
＞素朴な連続関数に置いてすらスッキリした見通しを与えてくれるので
＞解析の基礎の基礎の土台なんだろって話
リーマン式でも、リーマン式の中で適応できる関数クラス内においては
完全にスッキリ証明してますが何か？
ああ、お前にとってはルベーグ式の方が好みなのかもしれないな。
省3
353(1): 2020/04/04(土)02:17 ID:KapJV3EO(5/17) AAS
>>348
＞・ルベーグ式を学び終えた人がリーマン式に立ち返る必要がないか否か
ルベーグ式の方が適用できる関数クラスが広大であり、リーマン積分の拡張になっているので、
基本的にリーマン式に立ち返る必要はない。これはつまり、
「ルベーグ式の利点は、適用できる関数クラスが広大かつキレイなところ」
ということ。結局はこれに尽きる。
＞・解析を全てルベーグ式で思考したらいいだけじゃないか
省8
354(1): 2020/04/04(土)02:23 ID:KapJV3EO(6/17) AAS
もう1つ。お前は>>347で
＞ここをスッキリ証明してくれるのがルベーグ式だろ
と書いているが、個人的には、ルベーグ式がそれほど「スッキリ」しているとは思わない。
ルベーグ式は適用できる関数クラスが広大なので、その分、証明コストも莫大であり、
一般に莫大な証明のことを「スッキリ」とは表現しない。
また、ルベーグ式は関数を横に切って積分を考えるので、ある種の定理では
証明がどうしてもイビツになってしまい、「スッキリ」からは程遠い状況になっている。
流儀によって得意・不得意が出てくるのは当然のことであって、
なんでもかんでもスッキリとは行かないのが世の常であり、
ルベーグ式でもそういう状況は回避できないということ。
355(1): 2020/04/04(土)02:26 ID:KapJV3EO(7/17) AAS
>>354の一例を挙げると、
ルベーグ積分での微積分学の基本定理(の1つ)
f：[a,b]→R が各点で微分可能で f' がルベーグ積分可能なら、
f(b)−f(a) ＝ L∫[a→b]f'(x)dx が成り立つ
この定理の場合、ルベーグ式は「まごうことなきクソ」としか言いようがないくらい
技巧的かつ不自然な、イビツな証明しか見たことがなく、また証明のための準備も異様に長い。
ルベーグ式は関数を横に切って積分を考えるので、
微分と積分の関係を見るときに相性が悪いのは当然であり、
まさにその相性の悪さが露骨に表れているのが
ルベーグ式でのクソみたいな証明と言える。
356(1): 2020/04/04(土)02:32 ID:KapJV3EO(8/17) AAS
一方で、まあこちらはリーマン式ではなくhk式の定理だが、
hk積分での微積分学の基本定理(の1つ)
f：[a,b]→R が各点で微分可能なら、それだけで f' は必ずhk積分可能であり、
しかも f(b)−f(a)＝hk∫[a→b]f'(x)dx が成り立つ
この定理の場合、証明が驚異的に短く、しかも自然で、証明のための準備もほぼゼロである。
まさしく「スッキリ」としか表現のしようがない。ルベーグ式のクソみたいな証明とは天と地の差である。
たとえば、Introduction to Gauge Integrals という書籍では、確か
hk積分の定義 → その直後に straddle lemma → その直後にhk積分での微積分学の基本定理の証明
という構成になっていたはずで、積分の線形性すら証明してない状態で真っ先にこの定理の証明が来るという
驚異の構成であり、ルベーグ式のクソみたいな証明とは天と地の差である。
省2
357(1): 2020/04/04(土)02:37 ID:KapJV3EO(9/17) AAS
無論、hk積分はhk積分で、証明にやたらと手こずる定理も ちらほら存在するし、
多次元だと(今のところ)理論的に美しくならないという欠点も存在する。
結局、方式ごとに得意・不得意が出てくるのは当たり前のことであり、
ルベーグ式もhk式でも、「何でもかんでもスッキリ」とは行かないのである。
ルベーグ式を信奉するのは個人の勝手だが、
ID:B/zbSgrn の書き込みを読むと、どうもこいつは
「ルベーグこそが唯一の正解」
などと考えている節があって、見ていて非常に痛々しい。
まあ、この手の「ルベーグ狂信者」は昔から一定数いるんだがねｗ
361(1): 2020/04/04(土)15:27 ID:KapJV3EO(10/17) AAS
>>359
＞通常のリーマン面や古典保型形式を読み進む際に
＞決定的となるような話なのか？その例は。そこが腑に落ちない
「大抵の分野では、基本的にはルベーグ式で考えればいい」と既に述べている。
そして、「ただし反例となる分野もあるにはある」とも述べている。
こちらはそういうことを言っているにすぎない。繰り返しになるが、あんたは>>348で
＞・解析を全てルベーグ式で思考したらいいだけじゃないか
と言ったのである。しかし、「解析を全て」なんて言い出したら反例が存在するに決まっているのであり、
その具体例の1つが>>343-344の例である。この例はリーマン式で考えるのが適切である。
また、複素積分は基本的にルベーグ式では思考しない(正則関数しか扱わないから)。
省4
362(1): 2020/04/04(土)15:30 ID:KapJV3EO(11/17) AAS
>>359
＞?「証明のための準備も異様に長い」とあるが
＞ その証明のため【だけ】の準備ではなく汎用性のある準備なら
＞ 何も億劫ではないだろ
それを言い出したら、リーマン式での証明だって、リーマン式の中で扱える関数クラスでの
汎用性のある準備なのだから、億劫なことは何もないだろ・・・
もしそれでも億劫になることがあるとしたら、リーマン式とルベーグ式をメタ視点で比較して、
「ルベーグ式の方がより汎用的なので、設定が中途半端なリーマン式の証明はモチベが上がらない」
ということに過ぎないだろ。だが、それはメタ視点から比較したときの話であって、
リーマン式を「リーマン式の中だけ」で眺めたときには、
省5
363(1): 2020/04/04(土)15:32 ID:KapJV3EO(12/17) AAS
>>359
＞?「証明のための準備も異様に長い」とあるが
＞ その証明のため【だけ】の準備ではなく汎用性のある準備なら
＞ 何も億劫ではないだろ
同じことの繰り返しになるが、結局あんたのスタンスは、
・ リーマン式の証明は、ちょっとでも面倒くさい記述があると「これだからリーマン式はダメなんだ」とほざく
・ ルベーグ式の証明は、どんなに面倒くさい記述でも「汎用性のある準備だから許す」
というダブルスタンダードでしかない。
そして、なぜリーマン式では許せないのに、ルベーグ式だと許せるのかと言えば、
「 ルベーグ式は適用できる関数クラスが広大 (自動的に、準備も汎用的にならざるを得ない) 」
省1
364: 2020/04/04(土)15:35 ID:KapJV3EO(13/17) AAS
>>359
＞?「技巧的かつ不自然な」と言ってるがそれはRudinの芸術的な教科書の
＞ 中の記述でもあんたはそう思うのか？
Rudin (Real and complex analysis) による微積分学の基本定理の証明は
Vitali-Caratheodory Theorem を経由するものであり、技巧的な証明の中でも
比較的マシな部類ではあるが、hk積分での証明(>>356)のあまりの簡潔さを知ってしまうと、
Rudin のやり方ですら「クソ」と感じて吹き飛んでしまうｗ
まあ、これに関しては、hk積分での証明が奇跡的すぎるという側面もある。
また、hk積分はhk積分で証明に手こずる定理もちらほら存在するので、
結局、どの方式も万能ではない(と既に述べている)。
365(2): 2020/04/04(土)15:42 ID:KapJV3EO(14/17) AAS
>>360
＞そもそも逆に大学初年度のカリキュラムとやらで変数変換の公式を厳密に
＞証明しきってるような授業やってる人なんて俺は聞いたことない
言われてみれば、大学初年度では2変数の変数変換公式しか扱わないことを思い出した。よくある証明は、
補題 2×2の行列Aとb∈R^2に対してf(x)＝Ax＋b (x∈R^2)と置くとき、
R^2の有界なジョルダン可測集合Cに対してf(C)もジョルダン可測でμ(f(C))＝|det A|μ(C)
(ただし、ここでのμはジョルダン測度)
を示し、あとは普通のεδでリーマン和を計算して終わり、というもの(n次元でも同じ)。
そして、上記の補題の証明を省いて、εδでのリーマン和だけをやっている教科書があり、
おそらく講義でも上記の補題の証明を省いている大学はあるだろうということ。
省3
366: 2020/04/04(土)15:44 ID:KapJV3EO(15/17) AAS
難点があるとすれば、上記の補題の証明が意外と面倒くさいことであるが、
やっていることはダルブー式の上積分・下積分の計算に測度論的な計算を織り交ぜたものであり、
全てを測度論として考えたときには極めて普通の内容であるｗ それにも関わらず
「リーマン式の証明は複雑怪奇で問題外。ルベーグはシンプル」
のような捉え方をするのは理解に苦しむ。「やってること同じだろ」としか言いようがない。
同じ理由により、>>358のリンク先も理解に苦しむ。
367(2): 2020/04/04(土)15:46 ID:KapJV3EO(16/17) AAS
おそらく、>>358の教授の "やる気のなさ" は
「ルベーグの方が汎用的なので、リーマン式にはモチベが上がらない」
というたぐいのやる気のなさである。リンク先の引用になるが、ハッキリとこのように書いてある↓
＞ルベーグ流の測度論ではこれらのクラスがより広がり，面倒くさい仮定が一気に解消します．
＞ですから極論すれば，ジョルダン流の測度論は古くてあまり使わないし，どうせルベーグ積分を学ぶのだし，
＞別に完璧な理論展開をする必要もないのです．
つまりは、>>349の前半部分で書いたことそのものである↓
省5
369(1): 2020/04/04(土)15:50 ID:KapJV3EO(17/17) AAS
なので、全てをまとめると、
・ ルベーグ式の利点は、適用できる関数クラスが広大なところであり、なおかつ、これに尽きるのであり、
証明の良し悪しでリーマン式と差別化しようとする行為はナンセンス。
というか、証明の良し悪しなら、ルベーグ式でもクソみたいな証明はある(ただし比較対象はhk積分)。
・「 解析を全てルベーグ式で思考したらいい 」という主張は明らかに "言い過ぎ" であり、反例となる分野が一応ある。
・「 "大抵の解析は" ルベーグ式で思考したらいい」などと訂正するなら、その主張だったら普通に正しいですねとしか。
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