面白い問題おしえて～な二十二問目©2ch.net

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621: 2017/04/15(土)13:40 ID:osC2J4Qn(5/8) AAS
よく考えたら、n=6のときは、もっと短くない？

622: 2017/04/15(土)13:51 ID:osC2J4Qn(6/8) AAS
勘違いだった。絵も間違ってるな

623: 2017/04/15(土)14:36 ID:22kXx2mw(1) AAS
計算する前に、丸鉛筆と輪ゴムでやってみよう。

624: 2017/04/15(土)15:05 ID:osC2J4Qn(7/8) AAS
ちょっくら文房具屋行ってくる

　　　　　　／|
　　　　　_/⌒)A
　　＿／/三///＼＿
　∠＿_∥∥//＿＿_＞
- - -∠◎◎_＞ + - -
ﾆ +-／////ｉﾆ - ﾆ +-
三三三＿三三_三_三三
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625: 2017/04/15(土)20:38 ID:osC2J4Qn(8/8) AAS
>>615
難しいね

626: 2017/04/15(土)21:10 ID:V9p8xxkB(1) AAS
n=1　 2π 　　
n=2 　2π+4 　4をたす
n=3　 2π+6 　2をたす
n=4 　2π+8 　2をたす
n=5 　2π+10 2をたす
n=6　 2π+8+2√3 　約1.46をたす
n=7　 2π+12 　　約2.54をたす
n=8　 2π+14 　　2をたす
n=9　 2π+12+2√3 　約1.46をたす
n=10　2π+16 　　　約2.54をたす
省9

627: 2017/04/15(土)23:04 ID:bbeOVkk/(5/6) AAS
2.54と書いてあるところは全部0.54な

628: 2017/04/15(土)23:22 ID:bbeOVkk/(6/6) AAS
>>620
その図のl_6だと2π+5√(10-2√5)となり、2π+8+2√3より長い。
正解はこんな感じ
http://o.8ch.net/ssw3.png

629(3): 2017/04/22(土)19:46 ID:5NOd/v+A(1) AAS
三辺の辺長が全て有理数で面積が自然数の直角三角形のうち、周長が最小のものを見つけよ。
無理ならば、12より短いものをいくつか見つけよ。

630(1): 2017/04/23(日)21:38 ID:3OFn5/Q2(1/3) AAS
>>629
とりあえず１つ見つけた
３辺の長さが 7/2，145/42，97/21
面積 6
周の長さ 81/7 = 11.5714…

631: 2017/04/23(日)21:53 ID:3OFn5/Q2(2/3) AAS
三角形の３辺も面積も有理数なら、その頂点から対辺に下ろした垂線で
分割される２つの直角三角形の各辺も有理数であることが示せる。
よって、逆に２つの３辺が整数の直角三角形（ピタゴラス数）を組み合わせてできる
３辺が整数で面積も整数の三角形の各辺を、面積の平方因子の平方で割ったものが
求める周長が最小のものの候補となる。

>>630の例は、２つのピタゴラス数
(97,65,72)と(145,17,144)から、前者を2倍に拡大したものと後者を組み合わせて
できる３辺が(147,145,194)の三角形（底辺を147とすると高さ144）を
1/42に縮小したもの

632: 2017/04/23(日)21:56 ID:0bIVDw78(1) AAS
それ、直角三角形？

633: 2017/04/23(日)22:35 ID:3OFn5/Q2(3/3) AAS
あ、直角三角形か…w

まあ、直角三角形という条件を外したものの方が難しそうだからそっちもよろしく。

634(4): 2017/04/24(月)02:20 ID:2d047hsf(1/3) AAS
>>629
互いに素なピタゴラス数は、一般に
互いに素で偶奇の異なるm＞nなる自然数の組(m,n)を用いて
(m^2+n^2, m^2-n^2, 2mn)と表される。
よって、３辺の長さがいずれも有理数の直角三角形の３辺は
このm,nと自然数kを用いて
((m^2+n^2)/k, (m^2-n^2)/k, 2mn/k)と表せる
このとき、周長はL=2m(m+n)/k
ここで、面積をS=mn(m+n)(m-n)/k^2とおくと、
k^2=mn(m+n)(m-n)/S
省8

635(1): 2017/04/24(月)03:02 ID:2d047hsf(2/3) AAS
>>634 続き
ある(m,n)に対してLをなるべく小さくするには、Sをなるべく小さくとる必要があるので、
以下k^2はmn(m+n)(m-n)の最大の平方因子とする。
自然数m,nは互いに素で偶奇が異なりm＞nをみたすので、
m, n, m+n, m-nは、どの２つをとっても互いに素な自然数である（証明略）
よって、S=mn(m+n)(m-n)/k^2は、
m, n, m+n, m-nのそれぞれを最大の平方因子で割ったものの積となる。

以下、
(1) m, n, m+n, m-nのいずれも平方数となることがあるか
(2) m, n, m+n, m-nのうちの３つが平方数となり、
省8

636: 2017/04/24(月)03:18 ID:2d047hsf(3/3) AAS
細かいロジックのバグ修正。
>>634 で、
　３辺の長さがいずれも有理数の直角三角形の３辺は
　このm,nと自然数kを用いて
　((m^2+n^2)/k, (m^2-n^2)/k, 2mn/k)と表せる
と書いたが、
実際は、３辺の長さが(m^2+n^2, m^2-n^2, 2mn)の直角三角形の面積が
mn(m+n)(m-n)と自然数となることから、この三角形と相似で面積が自然数、各辺が整数
となる三角形のうち「最も小さいもの」の３辺が、
ある自然数kを用いて上記のように表せる、というのが正解。
省1

637(1): 2017/04/24(月)16:30 ID:TQhSh9MJ(1/2) AAS
>>629

斜辺を除く二辺が、互いに素なp,qを用いて p/q, 2nq/p と表される時(つまり面積がnの場合)

l^2 = (p/q)^2 + (2nq/p)^2 であるから、
(pql)^2 = p^4 + 4n^2q^4
より、右辺はqの素因数を持たないので、q=1 となる。

同様に、右辺がpの素因数を持つならば2nの素因数でもあるから、小さい数からしらみつぶしに調べるとnの最小値は6とわかる。(3,4,5の三角形)

n≧7 の時、周の長さは少なくとも
2√n + √(2n)
≧2√7 +√14
>12
省1

638(1): 2017/04/24(月)16:32 ID:TQhSh9MJ(2/2) AAS
>>637
ごめんこれlが整数の場合しか調べてないね吊りたい

639: 2017/04/24(月)20:38 ID:TM+X0wdz(1) AAS
>>638
　　　　　　　　　　　,　-,　　　
　　　　　　　　　 ,'ヽ,','　　　カッパえびせんやるから落ち着けよ
　　　　　　　　　,'ヽ,','
　　　　　　　　　 ,'ヽ,','
　　　　　　　　　,'ヽ,','
　　　　　　　／)、,,','ヽ
　　　　　　／／　　 }　|`i､
　　　　　　l　`ー‐'" ／　l }
　　　　　　|　　　　　　　／
省1

640(1): 2017/04/24(月)22:57 ID:Eb7x5ATx(1) AAS
おそらく最もシンプルで、周長もかなり小さい、ある三角形の周長の分母
186
です。629の出題者より。

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