[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 二十二問目©2ch.net (1002ﾚｽ)
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304(1): 2016/12/18(日)00:41 ID:kIx1UqEY(1/3) AAS
さいきん線形代数の復習をしているんだけど、なんか面白い問題ない？
305(3): 2016/12/18(日)02:41 ID:DDIPLw4L(1/3) AAS
>>304
Ａを n次正方行列とし、その固有多項式を
f(t) =｜tＩ - Ａ|,
とします。
Cayley-Hamiltonにより
ｆ(Ａ) = O,
Ａ^n = (Ａのn-1次以下の多項式）
ただし、Ａ^0 = Ｉ.
これを使って
exp{Ａ} = Σ[k=0〜∞) (1/k!)Ａ^k
省7
306(2): 2016/12/18(日)03:49 ID:kIx1UqEY(2/3) AAS
>>305
( ﾟ∀ﾟ) ｳﾎｯ、いい問題。 とりあえず２次正方行列の場合は出来た。
307(2): 2016/12/18(日)05:43 ID:kIx1UqEY(3/3) AAS
>>305
やり方は２次のときと同じようにすれば出るよね。
固有値が相異なるときを計算中だけど、計算が面倒…。
308(3): 2016/12/18(日)23:21 ID:DDIPLw4L(2/3) AAS
>>306-307
Lagrange-Sylvesterの補間式を使うといいらしい･･･
・参考書
千葉克裕「行列の関数とジョルダンの標準形」【増補改訂版】サイエンティスト社（2010/June)
260p．2700円
http://www.scientist-press.com/14_294.html
http://www.amazon.co.jp/dp/4860790391
309: 2016/12/18(日)23:46 ID:DDIPLw4L(3/3) AAS
>>306-307
多項式Ｐ(x)をｆ(x)で割ると
Ｐ(x) =ｆ(x)Ｑ(x) + Ｒ(x),
Ｒ(x)は高々(n-1)次の多項式 (←ｆはn次の多項式)
n=2 のときは
Ｒ(x) = [(b-x)/(b-a)]Ｐ(a) + [(x-a)/(b-a)]Ｐ(b) (a≠b のとき)
= Ｐ(a) + Ｐ'(a)(x-a) (a=b のとき)
となるが...
310(1): 2016/12/19(月)00:22 ID:b3OX3g8L(1/4) AAS
>>308
マジか、力任せに解いたぜ。（３次正方行列の固有値が相異なる場合だけだが）
311: 2016/12/19(月)12:27 ID:4qCEI1DC(1/2) AAS
>>310
速レス乙です。
重根がない場合はＲ(x)に因数定理を使う → Lagrangeの補間式
重根がある場合は極限移行するか、Ｒ(x)、Ｒ'(x)、… に因数定理を使う → Lagrange-Sylvesterの補間式
ですね。
312(1): 2016/12/19(月)13:32 ID:b3OX3g8L(2/4) AAS
計算過程で Σ[n=0 to ∞] {1/(n+2)}*{a^n/n!} が出たけど、これってe^aの何倍かになるんだっけ？
313: 2016/12/19(月)14:01 ID:b3OX3g8L(3/4) AAS
結局、固有値について場合分けして、因数定理で解いた。Lagrangeの補間式は使ってないけど。
314: 2016/12/19(月)15:18 ID:4qCEI1DC(2/2) AAS
>>312
1/{(n+2)n!} = 1/(n+1)! - 1/(n+2)!
{1 + (a-1)e^a}/(aa) ぢゃね？
315: 2016/12/19(月)19:11 ID:b3OX3g8L(4/4) AAS
重解をもつときは、因数定理で求めたものと、極限操作で求めたものが一致したので安心。
計算ミスが多すぎて時間かかりすぎたが、なんとか片付いたな、４次以上は無理だな…
316(2): 2016/12/20(火)06:46 ID:3gU/Xeut(1) AAS
>>308
> 千葉克裕「行列の関数とジョルダンの標準形」【増補改訂版】サイエンティスト社（2010/June)
> http://www.scientist-press.com/14_294.html
> http://www.amazon.co.jp/dp/4860790391
行列の関数三昧ですと！ゲットせねば…
317(4): 2016/12/20(火)14:36 ID:9UZFmJjk(1) AAS
>>305 の起源は、
〔補題〕
A, B が実対称行列のとき
tr｛exp(A+B)｝≦ tr｛exp(A)exp(B)},
等号成立は AB=BA のとき。
（京大RIMS元所長）荒木教授ご提出らしい。
数セミ増刊「数学の問題」第２集、日本評論社（1978) No.96
318: 2016/12/21(水)04:30 ID:RuV+Sjdl(1/2) AAS
>>317
その本には n=2 の場合しか証明がないけど、一般の場合の証明はどうするのでしょうね。
参考文献があれば教えてください。
319: 2016/12/21(水)12:38 ID:nR1grE4A(1) AAS
>>317
その本には実対称行列の場合しか証明がないけど、エルミート行列の場合の証明はどうするのでしょうね。
参考文献があれば教えてください。
320: 2016/12/21(水)13:35 ID:RuV+Sjdl(2/2) AAS
あぶない、あぶない。釣られるところだった。どうせ こないだの>>272だろ。
321(1): 2016/12/22(木)03:43 ID:LhRTfi4G(1) AAS
ヴぁれた…
det{exp(A)} = e^{tr(A)},
322: 2016/12/22(木)21:07 ID:t8eUZMI+(1) AAS
>>316
この本 TeXじゃないから読みにくいよな
323(2): 2016/12/24(土)01:59 ID:JJXapNlb(1) AAS
>>321
Ａが正規行列なら、ユニタリ行列で対角化できて簡単
そうでないときはジョルダンの標準形が必要で面倒
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