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987
: 2015/05/20(水)17:58
ID:BZe1cI9J(2/2)
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987: [] 2015/05/20(水) 17:58:58.23 ID:BZe1cI9J >>985 cos(kπ/(2n+1)) = −cos((2n+1−k)π/(2n+1)) k=1,2,...,n より、Π[k=1〜n]cos(kπ/(2n+1)) = (−1)^n・Π[k=n+1〜2n]cos(kπ/(2n+1)) Π[k=1〜n]cos(kπ/(2n+1)) = P とおくと、 P^2 = (−1)^n・Π[k=1〜2n]cos(kπ/(2n+1)) となる 以下、積と和は k=1,2,...,2n について取る P^2 = (−1)^n・2^(−2n)・Π(exp(ikπ/(2n+1)) + exp(−ikπ/(2n+1))) = (−1)^n・2^(−2n)・expΣ(−ikπ/(2n+1))・Π(exp(2ikπ/(2n+1)) + 1) = (−1)^n・2^(−2n)・exp(−inπ)・Π(exp(i2kπ/(2n+1)) + 1) = 2^(−2n)・Π(exp(i2kπ/(2n+1)) + 1) ・・・(※) ここで、f(x) = x^(2n+1) − 1 とおくと、f(x) = (x−1)・Π(x − exp(ikπ/(2n+1))) f(−x) = −(x+1)・Π(x + exp(ikπ/(2n+1))) f(x)f(−x) = −(x^2−1)・Π(x^2 − exp(2ikπ/(2n+1))) x=i を代入すると、 f(i)f(−i) = (i^(2n+1)−1)(−i^(2n+1)−1) = −(−1−1) = 2 = 2・Π(−1 − exp(2ikπ/(2n+1))) = 2・Π(exp(i2kπ/(2n+1)) + 1) よって、Π(exp(i2kπ/(2n+1)) + 1) = 1 (※)より、P^2 = 2^(−2n) P > 0 より P = 1/(2^n) http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/987
より とおくと となる 以下積と和は について取る ここで とおくと を代入すると よって より より
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