[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 十四問目 (1001ﾚｽ)
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970(3): 949 2009/01/02(金)02:58 AAS
>>967 >>969
合ってそうです。
ちなみに一般のk>0に対して
a^2 +b^2 =abc +k
の解で（cは定数と考えて）a^2 +b^2が最小となるものを(a, b) [|a|≧|b|]とすると
( (b^2 -k)/a, b ) もまた一解なので、|b|>√kのとき
a^2 +b^2≦{(b^2 -k)/a}^2 +b^2 すなわち|a|<|b|となり矛盾します。
故に |b|≦√k がいえます。
971(1): 2009/01/02(金)11:36 AAS
>>970
そのやり方だと a^2 +b^2 の最小値の存在について言及する必要があると思う。
a^2 + b^2＝abc + k において b、c、k が決まれば a は(高々2個)決まるので、
|b^2 -k|/|a|＝|a| としては駄目だろうか？
972: 2009/01/02(金)16:34 AAS
>>971
＞a^2 + b^2＝abc + k において b、c、k が決まれば a は(高々2個)決まるので、
＞|b^2 -k|/|a|＝|a| としては駄目だろうか？
aの2解の絶対値が必ずしも等しいとは限らない気がする。
あと>>970で、a^2 +b^2 の最小値が存在しないとすると結局方程式に1解も存在しないことになるので
最小値の存在は仮定していいのでは？厳密な議論が必要だったら指摘してくれ
976: 2009/01/03(土)01:44 AAS
ごめんなさい>>970を少し訂正します。
|b|>√kのとき矛盾を導くとありますが、もっと強く|b|≧√kで矛盾を導きます。
従って|b|<√kが言えるのでa|b^2-k(≠0) よりaの解は有限個となります。
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