面白い問題おしえて～な十問目

[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて～な十問目 (988ﾚｽ)
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64: １３２人目の素数さん [sage] 2005/06/22(水) 01:29:08

>>37
4731203 以上の整数は >>37 の意味で良い数と言える
(>>46-49見た後知恵 + PCで探索)

集合 S,T,U,C を
S={3,5,7,9,11,15,42,45,110}, T={3,5,7,9,11,26,33,42,45,143},
U={1,2,3,6}, C={3,114,247} とする。
Σ[x∈S]x = 247, Σ[x∈T]x = 324, Σ[x∈S]1/x = Σ[x∈T]1/x = 1,
Σ[x∈U]x = 12, Σ[x∈U]1/x = 2, Σ[x∈C]x = 364, Σ[x∈C]1/x = 9/26。

n を 4731203(=52*2^13+4305219) 以上の勝手な整数とする。
n = 52*2^p + m + 4305219 (p≧13, 0≦m＜52*2^p) と書ける。
gcd(4*246,13*323)=1 なので、中国剰余定理より、適当な整数 a,b により
m + 4*246*13*323 = 4*246a + 13*323b (a≧0, 0≦b＜4*246) とできる。
以上から n = 4(13*2^p-1+246a) + 13(13*2^10-1+323b) + 364 と書ける。
p≧13, m＜52*2^p から a＜2^p を言うのは簡単。

0≦k≦p-1 に対して
A[k] = { 4*2^k*x | x∈S } (a の2進展開に 2^k が現れるとき),
A[k] = {4*2^k} (それ以外)、A[p] = { 4*2^p*x | x∈U } とする。
A[k] (0≦k≦p) が全て互いに素であることはすぐ分かる。
A = ∪[k=0,p] A[k] とすれば、
Σ[x∈A]x = 4(13*2^p-1+246a), Σ[x∈A]1/x = 1/2。

同様に、0≦k≦9 に対して
B[k] = { 13*2^k*x | x∈T } (b の2進展開に 2^k が現れるとき),
B[k] = {13*2^k} (それ以外)、B[10] = { 13*2^10*x | x∈U } として、
B = ∪[k=0,10] B[k] とすれば、
Σ[x∈B]x = 13(13*2^10-1+323b), Σ[x∈B]1/x = 2/13。

A,B,C が互いに素であることはすぐ分かる。
X = A∪B∪C とすれば、Σ[x∈X]x = n, Σ[x∈X]1/x = 1。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/64

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